Symmetric Sets With Midpoints and Algebraically Equivalent Theories

Lawson, Jimmie D.; Lim, Yongdo

doi:10.1007/bf03322869

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“…The second and the third hold from (G3) and (5), and the inequality holds from Proposition 6 with (12) and (13).…”

Section: Inequalitiesmentioning

confidence: 93%

“…Since A. Ungar has first introduced the notion of gyrogroup and gyrovector space, many papers and consequences in algebra, hyperbolic geometry, quantum information, and the theory of special relativity have been appeared. Especially, (uniquely 2-divisible) gyrocommutative gyrogroups are equivalent to Bruck loop (B-loop or dyadic symmetric set) with the same operation [5,6]. In this paper we constructed a partial order on a gyrovector space, called a gyro-order, and showed several inequalities about gyrolines and cogyrolines.…”

Section: Closing Remarks and Acknowledgementmentioning

confidence: 99%

“…For instance, the Einstein gyrovector space, Möbius gyrovector space, and Proper Velocity (PV, in short) gyrovector space provide algebraic tools to study the Beltrami-Klein, Poincaré ball models, and PV space model of hyperbolic geometry, respectively. As many recent results shows that the theory of gyrogroups and gyrovector spaces can be applied to various areas such as the loop theory, the theory of special relativity, and quantum information, it has been widely studied [2][3][4][5][6].…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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Ordered Gyrovector Spaces

Kim

2020

Symmetry

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“…The second and the third hold from (G3) and (5), and the inequality holds from Proposition 6 with (12) and (13).…”

Section: Inequalitiesmentioning

confidence: 93%

Section: Closing Remarks and Acknowledgementmentioning

confidence: 99%

Section: Introductionmentioning

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Ordered Gyrovector Spaces

Kim

2020

Symmetry

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“…La raison pour laquelle les sous-symétrons ont été qualifiés de convexes dans Poizat 2018 est que ce sont les sous-ensembles dans lesquels deux points quelconques sont reliés par un sous-symétron abélien. C'est pour une raison semblable que les symétrons ont été qualifiés de dyadiques par Lawson & Lim 2004, car ce sont les espaces symétriques dans lesquels deux points quelconques sont reliés par une image du symétron libre à deux générateurs. Voir la Remarque 2, sur laquelle se fonde notre analyse locale des symétrons oméga-stables.…”

Section: Symétrons Abéliensunclassified

Symétries Et Transvexions, Principalement Dans Les Groupes De Rang De Morley Fini Sans Involutions

Poizat¹

2021

J. symb. log.

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Résumé L'analyse de la démonstration par contradiction de Frécon 2018 qui est faite dans Poizat 2018 met en évidence la structure symétrique des groupes de rang de Morley fini sans involutions; en effet, cette démonstration consiste en la construction d'un espace symétrique de dimension deux (“un plan”), puis à montrer que ce plan ne peut exister. Aux sous-espaces symétriques définissables de ces groupes sont associées des symétries et des transvexions, qu'on entreprend d'étudier ici dans l'abstrait, sans référence à un groupe qui les enveloppe; cela nous mène à considérer des structures introduites axiomatiquement que nous appelons symétrons (plutôt qu'ensembles symétriques diadiques, comme les ont nommées Lawson & Lim 2004). Le -Theorem de Glauberman permet d'élucider complètement la structure des symétrons finis: chacun est isomorphe à l'ensemble des symétries associées à un sous-espace symétrique d'un groupe fini sans involutions, qui est loin d'être uniquement déterminé: de fait, il existe des groupes finis non isomorphes qui ont les mêmes symétries, et aussi des symétrons finis qui ne sont pas isomorphes aux symétries d'un groupe, La situation est plus incertaine dans le cas des symétrons de rang de Morley fini, ou même algébriques, qui sont l'objet d'étude principal de cet article. Mais bien qu'un symétron soit une structure nettement plus faible qu'un groupe, nous pouvons étendre aux symétrons des résultats bien connus à propos des groupes de rang de Morley fini: condition de chaîne, décomposition en composantes connexes, caractérisation des parties définissables génériques, génération elliptique, etc. Ces propriétés sont nouvelles même dans le cas des sous-espaces symétriques d’un groupe, et permettent de court-circuiter les calculs de Frécon dans la construction de son plan paradoxal. En outre, sous l'hypothèse de la Conjecture d'Algébricité, nous généralisons le Théorème de Glauberman au contexte de rang de Morley fini.

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“…168]. A new term, (iii) "dyadic symset", which emerges from an interesting work of Lawson and Lim in [31], turns out, according to [31,Theorem 8.8], to be identical with a two-divisible, torsion-free, gyrocommutative gyrogroup [56, p. 71].…”

Section: Gyrogroups Are Loopsmentioning

confidence: 99%

Analytic Hyperbolic Geometry and Albert Einstein's Special Theory of Relativity

Ungar¹

2008

117

279

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In this era of an increased interest in loop theory, the Einstein velocity addition law has fresh resonance. One of the most fascinating aspects of recent work in Einstein's special theory of relativity is the emergence of special grouplike loops. The special grouplike loops, known as gyrocommutative gyrogroups, have thrust the Einstein velocity addition law, which previously has operated mostly in the shadows, into the spotlight. We will find that Einstein (Möbius) addition is a gyrocommutative gyrogroup operation that forms the setting for the Beltrami-Klein (Poincaré) ball model of hyperbolic geometry just as the common vector addition is a commutative group operation that forms the setting for the standard model of Euclidean geometry. The resulting analogies to which the grouplike loops give rise lead us to new results in (i) hyperbolic geometry; (ii) relativistic physics; and (iii) quantum information and computation.2000 Mathematics Subject Classification: 20N05 (51P05, 83A05)

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Symmetric Sets With Midpoints and Algebraically Equivalent Theories

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Ordered Gyrovector Spaces

Ordered Gyrovector Spaces

Symétries Et Transvexions, Principalement Dans Les Groupes De Rang De Morley Fini Sans Involutions

Analytic Hyperbolic Geometry and Albert Einstein's Special Theory of Relativity

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