Synthesis of optimal boundary control of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph

Abstract

Рассмотрена распространенная в приложениях задача оптимального граничного управления параболической системой с запаздыванием и распределенными параметрами на графе. Состояние системы определяется слабым решением начально-краевой задачи для параболического уравнения в пространстве соболевского типа, управляющее воздействие на систему и наблюдение за ее состоянием осуществляются в граничных узлах графа на всем временном промежутке. Сопряженное состояние системы обусловливается также слабым решением начально-краевой задачи с запаздыванием и распределенными параметрами на графе с финальным условием. Получены необходимые и достаточные условия существования оптимального управления с использованием сопряженного состояния системы, решена задача синтеза оптимального управления для случая отсутствия ограничений на управляющие воздействия и получен аналог известных для конечномерного случая результатов Калмана. Используемый метод применим ко многим задачам оптимизации дифференциальных систем, состояние которых определяется слабыми решениями эволюционных уравнений на сетях. Представленные результаты являются основополагающими при исследовании задач граничного управления динамикой ламинарных течений многофазных сред. Библиогр. 20 назв. Ключевые слова: начально-краевая задача, распределенные параметры на графе, слабые решения, оптимальное граничное управление, синтез управления.

Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph

“…For simplicity, the further statement of change space L 2,1 (Γ T ), replacing this space on CL 2,1 (Γ T ) ⊂ L 2,1 (Γ T ) (CL 2,1 (Γ T ) is the space of functions from L 2,1 (Γ T ), that are continuous on t in the norm L 2 (Γ)), when this f (x, t) ∈ CL 2,1 (Γ T ) (the latter is easy condition in applications). In this case, as shown in the work [12], the weak solution y(x, t) ∈ V 1,0 (a, Γ T ) of problem (5), (6) for any 0 < T < ∞ representable in the form of the series…”

“…Under proof of the conclusion of theorem 3 make use of the Faedo-Galerkin method with the basis {u i (x)} i 1 (theorem 1). A detailed proof represent in the work [12].…”

“…In many applications, particularly, when studying conditions stabilize, where investigate the properties of solutions y(x, t) ∈ V 1,0 (a, Γ T ) of the problem (5), (6) for an arbitrary finite T , it is important to know y(x, t) when t → +∞. To do this, let's consider a simple and unobtrusive enough condition for the existence in the domain Γ ∞ = Γ 0 ×[0, ∞) of the free member f (x, t) of the equation 5 [12]. Namely, let any T , just as above,…”

“…for any t 0, A is the fixed constant (the ratio (12) indicates that the function f (x, t) is defined and limited in the domain Γ ∞ ). Remark 4.…”

“…Remark 4. To improve the properties of the function f (x, t) on a variable t level of smoothness of weak solutions y(x, t) on t > 0 (see remark 3 in the work [12]).…”