Tamely ramified Iwasawa modules having no non-trivial pseudo-null submodules

Abstract

Tamely ramified Iwasawa modules having no non-trivial pseudo-null submodules Tome 30, n o 3 (2018), p. 859-872. <http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2018__30_3_859_0> © Société Arithmétique de Bordeaux, 2018, tous droits réservés. L'accès aux articles de la revue « Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux » (http://jtnb.cedram.org/), implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://jtnb.cedram. org/legal/). Toute reproduction en tout ou partie de cet article sous quelque forme que ce soit pour tout usage autre que l'utilisation à fin strictement personnelle du copiste est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. cedram Article mis en ligne dans le cadre du Centre de diffusion des revues académiques de mathématiques http://www.cedram.org/ Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux 30 (2018), 859-872 Tamely ramified Iwasawa modules having no non-trivial pseudo-null submodules par Tsuyoshi ITOH Résumé. Ce travail fait suite à l'article [4] de Satoshi Fujii et l'auteur. Soient k un corps de nombres, p un nombre premier, et k c /k la Z p-extension cyclotomique. Pour un ensemble fini S de nombres premiers qui ne contient pas p, le module d'Iwasawa (par rapport à la prop extension abélienne maximale non ramifiée en dehors de S) a été étudié dans plusieurs articles. Nous donnons des exemples non-triviaux où X S (k c) a un sous-module fini non-nul avec k totalement réel. Nous donnons également un exemple similaire dans le cas de la Z ⊕2 p-extension d'un corps quadratique imaginaire. De plus, nous discutons en appendice des analogues faibles de la conjecture de Greenberg pour X S (k c).

On the structure of the Galois group of the maximal pro-$p$ extension with restricted ramification over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension

“…The assertion that X S (k ′ ) ∼ = (Z/pZ) ⊕r−1 can be shown similarly. (See also Remark 4.3 of [16]. )…”

“…Unfortunately, there is a case that X S (k ′ ∞ ) is not trivial and has no non-trivial Z p -torsion elements. (For this topic, see [16].) We will consider the above question for such a case.…”

“…Hence, to see the assertion of this theorem, it is sufficient to show that X(F ∞ ) has a non-trivial Z p -torsion element (cf. [8], [16]). The outline of the following proof is similar to [8, Corollary 3.5 (i)].…”

“…The remaining two assertions can be shown by using [16,Corollary 4.2]. Note that the Z p -rank can be computed by using the formula given in [15,Example 6.6] (see also the proof of [16,Theorem 1.2]).…”