Tensorprodukte kompakter konvexer Mengen

Abstract

EHRHARD BEHRENDS (Berlin) und GERD WrrTsTocK (Saarbriicken) Wir untersuchen das projektive Tensorprodukt K (~L zweier kompakter konvexer Mengen K, L. Dieses Tensorprodukt wurde yon Semadeni [9] und, ftir den Fall yon Simplexen, yon Davies und Vincent-Smith [1] und Lazar [4] eingeftihrt. Die Menge der stetigen affinen Funktionen ~K auf K ist ein archimedisch geordneter linearer Raum mit Einheit und vollst~indig in der Ordnungstopologie. Popa [8], Hulanicki und Phelps [2] und Peressini und Sherbert [6] haben Tensorprodukte geordneter linearer Riiume untersucht. Man kennt hier ein projektives Tensorprodukt U (~v V und ein injektives (biprojektives) Tensorprodukt U ~ V. Es sei K kompaktes Simplex und L kompakt konvex. Dann gilt f'tir die Menge ~ (K, L) der stetigen biaffinen reellen Funktionen auf K x L, dab ~(K, L)=dK ~r ~v~tL ist.Sind K, L Simplexe, so ist K ~L ein Simplex, wie bereits yon Davies

On Banach space valued extensions from split faces

“…We shall use the methods of tensor products of compact convex sets as developed by Semadeni [12], Lazar [9], Namioka and Phelps [10] and Behrends and Wittstock [6] to reduce the problem to the case B = R, and in this case the result follows from the work of Alfsen and Hirsberg [3] and the present author [4].…”

“…This space has been used f.ex. by Krause [8] and Behrends and Wittstock [6] in simplex theory and by Combes [7] in C*-algebra theory. We shall state some of the known properties of A 8 (K).…”

Tensorprodukte und Simplexe

“…Es gilt K = 6:dK, U = ~r U. FiJr stetige affine Abbildungen f: K~L kann man eine positve normalisierte lineare Abbildung ,~f: dL--.,sCK durch (~r =v of (ftir alle ve~L) erkl~iren und f'tir g: U--* V (linear, positiv und normalisiert) eine stetige affine Abbildung ~g: S, aV--~6:U durch (6r (f'tir ke5:V) definieren. Es gilt 6e~Cf =fund ~r g = g. [6] und im allgemeinen Fall von Namioka und Phelps [7], Behrends und Wittstock [1] angegeben.…”

“…U simplizial ist, so gilt d(K | ~r K | p sOL bzw. 5e(U | V)= 6e U | 5~ V. Beweise hierf'tir findet man fiir den Fall, dab beide Faktoren Simplexe sind, in [2] und [6], allgemein in [7] und [1] Wir definieren eine stetige affine Abbildung…”

“…Unter Verwendung des Choquetschen Satzes haben Behrends und Wittstock [1] gezeigt, dab j auch injektiv ist. Man kann dies auch daraus folgern, dab der simpliziale Raum ~K die Approximationseigenschaft hat (vgl.…”