The Category of Finitely Presented Smooth Mod $p$ Representations of $GL_2(F)$

Abstract

Let F be a finite extension of Q p . We prove that the category of finitely presented smooth Z-finite representations of GL 2 (F ) over a finite extension of F p is an abelian subcategory of the category of all smooth representations. The proof uses amalgamated products of completed group rings.

Factorisation de la cohomologie étale p-adique de la tour de Drinfeld

“…Soit K un sous-groupe ouvert compact de H . Le -module est muni [67, prop. 3.2] de l’unique structure de -algèbre telle que les morphismes naturels et soient des morphismes de -algèbres, et cette structure est indépendante (à isomorphisme canonique près) du choix du sous-groupe ouvert compact K de H utilisé pour la définir.…”

“…3.2] de l’unique structure de -algèbre telle que les morphismes naturels et soient des morphismes de -algèbres, et cette structure est indépendante (à isomorphisme canonique près) du choix du sous-groupe ouvert compact K de H utilisé pour la définir. De plus, par [67, lemme 3.5] la structure de -module de tout objet de s’étend de manière unique en une structure de -module.…”

“…On dit que est: admissible si est de longueur finie sur , pour tout sous-groupe ouvert compact K de H et tout . localement admissible si est admissible pour tout , ou, de manière équivalente, si peut s’écrire comme une limite inductive de représentations lisses admissibles. de longueur finie si est de longueur finie comme -module. de type fini si est de type fini comme -module. Les conditions suivantes sont équivalentes [67, lemmas 2.4, 3.6]: est de type fini; est quotient d’une induite compacte c- pour une -représentation lisse , de longueur finie, d’un sous-groupe ouvert compact K de H ; est un -module de type fini. de présentation finie s’il existe une suite exacte de -modules où , sont des sous-groupes ouverts compacts de H et est une -représentation lisse de , de longueur finie sur . Cela n’est pas équivalent à ce que soit un -module de présentation finie, mais plutôt [67, prop.…”

“…Les conditions suivantes sont équivalentes [67, lemmas 2.4, 3.6]: est de type fini; est quotient d’une induite compacte c- pour une -représentation lisse , de longueur finie, d’un sous-groupe ouvert compact K de H ; est un -module de type fini. de présentation finie s’il existe une suite exacte de -modules où , sont des sous-groupes ouverts compacts de H et est une -représentation lisse de , de longueur finie sur . Cela n’est pas équivalent à ce que soit un -module de présentation finie, mais plutôt [67, prop. 3.8] à ce que soit un -module de présentation finie. …”

“…les propriétés de la catégorie des représentations de présentation finie de (en particulier le fait qu’elle est abélienne et stable par extensions d’après Shotton [67]).…”