The Complexity of the Vertex 3-Colorability Problem for Some Hereditary Classes Defined By 5-Vertex Forbidden Induced Subgraphs

A complete classification of the complexity of the vertex 3-colourability problem for quadruples of induced 5-vertex prohibitions

“…Через P n , C n , K n обозначается простой путь, простой цикл и полный граф на n вершинах соответственно. Через [8][9][10] были рассмотрены следующие 9 наследственных классов и было доказано, что задача 3-ВР является NP-полной в любом наследственном классе с конечным множеством запретов, включающим хотя бы один из данных 9 классов:…”

“…В работе [8] для задачи 3-ВР получена полная сложностная дихотомия в семействе наследственных классов, определяемых парой запрещенных порожденных подграфов, каждый из которых имеет не более 5 вершин. В работе [9] был получен аналогичный результат для всех троек запретов, каждый из которых имеет не более 5 вершин. В статье [10] рассматривались четверки запрещенных порожденных подграфов, каждый из которых имеет не более пяти вершин.…”

On the complexity for constructing a 3-colouring for planar graphs with short facets

“…Îïèñàíèå ñâåä åíèÿ ñîñòàâëÿåò ñîäåðaeàíèå âñåé îñòàâøåéñÿ ÷àñòè äîêàçàòåëüñòâà. Çàäà÷à 3-ÂÐ â êëàññå P ïîëèíîìèàëüíî ñâîäèòñÿ ê òîé aeå çàäà÷å â êëàññå P áåç âåðøèí ñòåïåíè 1 è 2 è øàðíèðîâ (ñì., íàïðèìåð, ðàáîòó [4] Äëÿ êàaeäîãî öèêëà C , îáðàçóþùåãî ãðàíü ïåðâîãî òèïà â ãðàôå G ′ , çàäàäèì ôóíêöèþ g 1 : V (C) → 0, 2 . Åå çíà÷åíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîaeåíèåì âåðøèíû â ýêçåìïëÿðå ïîäãðàôà H 3 , êîòîðîìó îíà ïðèíàäëåaeèò, à èìåííî: Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íèêàêèå äâå ãðàíè ïåðâîãî òèïà íå ïåðåñåêàþòñÿ ïî âåðøèíàì.…”