The Davey Stewartson system in weak $L^p$ spaces

On the Davey–Stewartson system with singular initial data

“…Observe that if u is a classical solution for (1) then u λ := λ 2/ρ u(λx, λ 2 t) also verifies (1). Solutions invariant by the scaling u → u λ are called self-similar solutions.…”

“…. Assume that 0 h(ρ + 1) < 1 − α(ρ + 1) and let u be the solution of (1) given in Theorem 1.2 with data u 0 .…”

“…The proof of (iii) follows the same spirit of the proof of (i). Recently, in [1], a result of existence and uniqueness for small data in L ρ(n+2)/2 (R n+1 ) was established. However, this result is based on Strichartz estimates for the Schrödinger equation and there is not a direct comparison to Theorem 1.2 (see Theorem 1 in [1]).…”

“…Théorème 0.3 (Scattering). On suppose que 0 h(ρ + 1) < 1 − α(ρ + 1) et soit u la solution de (1) obtenue dans le Théorème 0.2 à donnée u 0 . Si u 0 est comme dans (iii) du Théorème 0.2 avec d = ∞, alors il existe u ± 0 avec S(t)u ± 0 α,∞ < ∞ tel que u(t) − u ± (t) (ρ+2,∞) = O (t −α−h(ρ+1) ), as t → ±∞, où u + (t), u − (t) denotent les uniques solutions « mild » globales du problème linéaire associé à (1) avec donnée initiales u + 0 et u − 0 , respectivement.…”

“…Théorème 0.5 (Stabilité asymptotique). On suppose 0 h < 1 − α(ρ + 1), et soient u, v ∈ X α,∞ deux solutions globales de (1) données par le Théorème 0.2, avec données u 0 , v 0 , respectivement.…”