The geometry and topology of steady Euler flows, integrability and singular geometric structures

Abstract

In this thesis, we make a deep investigation of the geometry and dynamics of several objects (singular or not) appearing in nature. The main goal is to study rigidity versus flexibility dynamical behavior of the objects considered. In particular, we inspect normal forms, h-principles, classifications, and existence theorems. These concern a series of objects which are either close or far away from what we call “integrable situations" in the sense of Frobenius theorem and the existence of first integrals. Such dynamical systems arise in the context of symplectic and contact geometry (and their singular counterparts), as well as in the Euler equations on Riemannian manifolds.
 As integral objects, we consider integrable systems appearing in symplectic manifolds but also on singular symplectic manifolds. Singularities show up naturally on these phase spaces by considering spaces with cylindrical ends and studying b-symplectic forms as initiated by Guillemin-Miranda-Pires. Other types of singularities are folded structures originally considered by Martinet and then by Cannas da Silva, Guillemin, Woodward for geometrical purposes. We give classification results of steady Euler flows which admit a Morse-Bott first integral using techniques coming from the symplectic world, and study obstructions arising from the ambient topology. 
 Our analysis includes the existence of action-angle coordinates on folded symplectic manifolds, and a correspondence between the recently introduced b-contact forms and Beltrami fields on b-manifolds. As examples of systems that are “far from integral" we consider the case of contact manifolds and their close allies in the study of Euler flows (Beltrami vector fields). This gives us the possibility to extend the h-principles from the contact realm to that of Beltrami vector fields. This last observation enables us to consider universality properties, as introduced by Tao, of steady Euler flows by analyzing those of high-dimensional Reeb flows in contact geometry. In the same spirit, we address the construction of steady Euler flows in dimension 3 which simulate a universal Turing machine, using tools coming from symbolic dynamics. In particular, these solutions have undecidable trajectories. In all these discussions, a key role is played by different classes of vector fields such as geodesible, Beltrami, and Eulerisable fields. We set up the study of the relations between such classes in higher odd-dimensions, showing that new phenomena arise as soon as one leaves the realm of three-dimensional manifolds. For these high dimensional Euler flows (or more generally, flows admitting a strongly adapted one-form), we show that they satisfy the periodic orbit conjecture, which was known to be satisfied with the weaker assumption of geodesibility. En aquesta tesi, duem a terme una investigació en profunditat de la geometria i la dinàmica de diferents objectes (singulars o no) que apareixen a la natura. El principal objectiu és l'estudi del comportament dinàmic rígid vs. flexible dels objectes considerats. En particular, inspeccionem formes normals, h-principis, classificacions, i teoremes d'existència. Aquests es refereixen a una sèrie d'objectes que estan a prop o lluny del que denominem "situacions integrables" en el sentit del teorema de Frobenius i l'existència de primeres integrals. Aquests sistemes dinàmics sorgeixen en el context de la geometria simplèctica i de contacte (i les seves contrapartides singulars), a més a més d'en les equacions d'Euler en varietats Riemannianes. Com a objectes integrals, considerem sistemes integrables que apareixen en varietats simplèctiques però també en varietats simplèctiques singulars. Les singularitats apareixen naturalment en espais de fase quan considerem espais amb finals cilíndrics i estudiant formes b-simplèctiques, estudi que va ser iniciat per Guillemin-Miranda-Pires. Altres tipus de singularitats són les estructures plegades, originalment considerades per Martinet i després per Cannas da Silva, Guillemin i Woodward amb motius geomètrics. Donem resultats de classificació per a fluxos d'Euler estacionaris que admeten una integral de tipus Morse-Bott, usant tècniques del món simplèctic, i estudiem obstruccions que sorgeixen de la topologia de la varietat ambient. La nostra anàlisi inclou l'existència de coordenades acció-angle en varietats simplèctiques plegades, i una correspondència entre les recentment introduïdes formes de b-contacte i camps de Beltrami en b-varietats. Com a exemples d'objectes que estan "lluny de la situació integrable", considerem el cas de les varietats de contacte i els seus aliats propers en l'estudi de fluxos d'Euler (els camps de Beltrami). Això ens permet estendre els h-principis del regne de la geometria de contacte al dels camps de Beltrami. Aquesta última observació ens permet considerar propietats d'universalitat, introduïdes per Tao, de fluxos estacionaris d'Euler analitzant les dels camps de Reeb en geometria de contacte. Des d'aquest mateix punt de vista, encarem la construcció de fluxos estacionaris d'Euler en dimensió 3 capaços de simular una màquina de Turing universal, usant tècniques de dinàmica simbòlica. Aquestes solucions tenen, en particular, trajectòries indecidibles. En totes aquestes discussions, diferents classes de camps tenen un rol clau, com ara els camps geodesibles, de Beltrami o Euleritzables. Posem en marxa l'estudi de les relacions entre aquestes classes en dimensions senars arbitràries, demostrant que nous fenòmens apareixen quan abandonem el regne de les 3-varietats. Per aquests fluxos d'Euler (o més en general fluxos que admeten una uno-forma fortament adaptada), demostrem que se satisfà la conjectura d'òrbita periòdica, la qual es sabia certa amb la suposició més débil de geodesibilitat.