The Moduli of Compact Continuations of an Open Riemann Surface of Genus One

Shiba, Masakazu

doi:10.2307/2000340

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“…We denote by M(R, χ) the set of moduli of marked tori into which (R, χ) can be conformally embedded. It is a nonempty subset of H. Shiba [14,Theorem 5] established the following proposition, improving considerably a result of Heins (see [4,Theorem 2]). …”

Section: Preliminariesmentioning

confidence: 61%

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Once-holed tori embedded in Riemann surfaces

Masumoto

2007

Math. Z.

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Once-holed tori are the most primitive noncompact Riemann surfaces of positive genus, and consitute a partially ordered set, the order being defined in terms of conforaml embeddings. We consider some families of once-holed tori that are conformally embedded in target Riemann surfaces of conformal mappings of a given noncompact Riemann surface of genus one, and establish an analogue of the one-quarter theorem of Koebe. We also investigate families of once-holed tori conformally embedded in a Riemann surface of positive genus.

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Section: Preliminariesmentioning

confidence: 61%

“…The set M(R, χ) reduces to a point if and only if R ∈ O AD , that is, every holomorphic function on R with finite Dirichlet integral is constant ( [14,Theorems 6]; see also Mori [9] and Oikawa [10]). In what follows we regard a singleton in H as a closed disk of radius 0.…”

Section: Proposition 1 (Shiba) the Set M(r χ) Is A Closed Disk Or A mentioning

confidence: 99%

Once-holed tori embedded in Riemann surfaces

Masumoto

2007

Math. Z.

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“…Denote by M(R 0 , χ 0 ) the set of τ ∈ H for which (R 0 , χ 0 ) can be conformally embedded into the marked torus (T τ , χ τ ). It then follows from Shiba [5,Theorem 5] that M(R 0 , χ 0 ) is a closed disk or a point in H, which is called the moduli disk of (R 0 , χ 0 ). For each boundary point τ of M(R 0 , χ 0 ) conformal embeddings f of (R 0 , χ 0 ) into (T τ , χ τ ) are determined uniquely up to conformal automorphisms of (T τ , χ τ ).…”

Section: Hyperbolic Spansmentioning

confidence: 99%

Corrections and complements to “Once-holed tori embedded in Riemann surfaces”

Masumoto

2009

Math. Z.

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Once-holed tori are the most primitive noncompact Riemann surfaces of positive genus, and can be used to measure the sizes of handles of Riemann surfaces of positive genus. We study some families of once-holed tori that are conformally embedded in target Riemann surfaces of conformal mappings of a given noncompact Riemann surface of genus one, and correct some results given in Masumoto (Math. Z. 257:453-464, 2007).

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“…Die Gesamtheit der konformen AbschlieBungen yon (R0,z0) wird mit ~-(R0,z0) bezeichnet, vgl. [3] und [4]. Wenn keine MiBverstandnisse zu beffirchten sind, werden wir eine konforme AbschlieBung yon (R0,z0) auch kurz mit F notieren.…”

Section: Mathematics Subject Classificationunclassified

Realisierungen des idealen Randes einer Riemannschen Fläche unter konformen Abschließungen

Schmieder

Shiba

1997

Arch. Math.

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Let a noncompact Riemann surface R of positive finite genus g be given. If f : R ~ R' is a conformal mapping of R into a compact Riemann surface R' of genus g, we have a realization of the ideal boundary of R on the surface R'. We consider (for the fixed R) all the possible R' and the associated conformal mappings, and study how large the realized boundary can be. To this aim we pass to the (common) universal space C g of the Jacobi variety of any R' and show that the image sets of the ideal boundary of R in C g are uniformly bounded.Einleitung. Fiir viele Untersuchungen nicht-kompakter Riemannscher Fl~ichen ist die Realisierung idealer Rander yon grol3em Vorteil, indem sie die M/Sglichkeit schafft, z.B. urspriinglich fiir relative Kompakta gewonnene Erkenntnisse auf abgeschlossene Mengen zu tibertragen.In vorangegangenen Arbeiten (s. z.B.[4]) wurden die Realisierungen des idealen Randes in allen kompakten Riemannschen Fl~ichen desselben Geschlechts g betrachtet, in welche die vorgegebene nicht-kompakte Riemannsche Fl~iche R0 eineindeutig und konform eingebettet werden kann. Solche kompakten Fl~ichen sollen im folgenden konforme Kompaktifizierungen von (R0, Z0) heil3en, wo Z0 eine im voraus festgelegte Homologiebasis yon R0 ist. Jede konforme Kompaktifizierung von (Ro,Zo) lal3t sich in eine sogenannte Jacobi-Mannigfaltigkeit abbilden, die als Quotientenraum aus C g entsteht.In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir die ,,Gr613e" des idealen Randes von (R0, Z0) in diesen Jacobi-Mannigfaltigkeiten. Ein Mal3 fiir diese Gr613e bietet die euklidische Metrik im C g, da dieser Raum die gemeinsame (universelle) Oberlagerung aller JacobiMannigfaltigkeiten ist.Im allgemeinen l~il3t sich die kanonische Abbildung einer konformen Kompaktifizierung auf die Jacobi-Mannigfaltigkeit nicht zu einer (stetigen) Funktion der kompakten F1/iche auf C g liften, wohl aber zu einer mehrdeutigen Zuordnung dieser Mengen. In der ,,Nahe" des durch sie realisierten idealen Randes ist jedoch die Auszeichnung eines eindeutigen Zweiges m6glich. Dabei ist der Durchmesser des Bildes dieses idealen Randes unter allen m6glichen Zweigen gleich und gibt daher ein Mal3 fox seine Gr613e, die zun~ichst v o n d e r zugrunde gelegten konformen Kompaktifizierung abh~ingt. Allerdings erweist sich, dab eine gemeinsame, fiir alle konformen Kompaktifizierungen von (R0,z0) giiltige Schranke existiert.

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The Moduli of Compact Continuations of an Open Riemann Surface of Genus One

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