The Solution of the Homogeneous Boundary Value Problem of Riemann with Infinite Index of Logarithmic Order on the Beam by a New Method

Abstract

1 Салимов Расих Бахтигареевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, Россия, Казань, Зеленая, 1, salimov.rsb@gmail.com 2 Хасанова Энже Назиповна, ассистент кафедры высшей математики, Казанский государственный архитектурно-строительный университет, 420043, Россия, Казань, Зеленая, 1, enkarabasheva@bk.ru Рассматривается однородная краевая задача Римана с краевым условием на луче -положительной действительной оси с началом в точке с координатой, равной единице, для функции, аналитической в комплексной плоскости с разрезом по указанному лучу. В краевом условии значение искомой ана-литической функции в любой точке левого (при движении в положительном направлении) берега разреза представляется как произведение значения заданной функции, называемой коэффици-ентом, и значения искомой функции в указанной точке правого берега разреза. Предполагая, что модуль коэффициента удовлетворяет условию Гельдера всюду на луче, включая бесконечно уда-ленную точку, а аргумент коэффициента удовлетворяет условию Гельдера на любой конечной части луча и неограниченно растет как степень логарифма координаты точки луча при неограниченном удалении этой точки от начала луча. Выводится формула, определяющая аналитическую в верхней полуплоскости функцию, мнимая часть которой при стремлении координаты точки луча к бесконечно-сти является бесконечно большой того же порядка, что и аргумент коэффициента краевого условия. Далее строится соответствующая функция в нижней полуплоскости. Использование указанных двух функций позволяет устранить бесконечный разрыв аргумента коэффициента краевого условия ана-логично тому, как это делается в случае конечных разрывов этого коэффициента. На основе приемов, применяемых Ф. Д. Гаховым, задача с условием на луче приводится к задаче с краевым условием на всей действительной оси, для точек которой, нележащих на указанном луче, коэффициент краевого условия равен единице. Для решения последней задачи используется метод Ф. Д. Гахова. Найденное решение зависит от произвольной целой функции нулевого порядка, модуль которой подчинен од-ному условию, в то время как в случае конечного индекса решение задачи зависит от произвольного многочлена степени не выше индекса задачи.Ключевые слова: краевая задача Римана, аналитическая функция, бесконечный индекс, логариф-мический порядок.