Topologically Mixing Maps and the Pseudoarc

Abstract

TOPOLOGICALLY MIXING MAPS AND THE PSEUDOARC * ТОПОЛОГIЧНО ПЕРЕМIШУЮЧI ВIДОБРАЖЕННЯ ТА ПСЕВДОДУГА It is known that the pseudoarc can be constructed as the inverse limit of the copies of [0, 1] with one bonding map f which is topologically exact. On the other hand, the shift homeomorphism σ f is topologically mixing in this case. Thus, it is natural to ask whether f can be only mixing or must be exact. It has been recently observed that, in the case of some hereditarily indecomposable continua (e.g., pseudocircles) the property of mixing of a bonding map implies its exactness. The main purpose of this article is to show that the indicated kind of forcing of recurrence is not the case for the bonding map defining the pseudoarc. Вiдомо, що псевдодугу можна отримати як обернену границю копiй вiдрiзка [0, 1] з єдиним зв'язуючим вiдображенням f, що є топологiчно точним. З iншого боку, в цьому випадку зсувний гомеоморфiзм σ f є топологiчно перемiшуючим. Таким чином, природно запитати чи може f бути тiльки перемiшуючим, чи воно обов'язково повинно бути точним. Нещодавно було встановлено, що для деяких спадково нерозкладних континуумiв (наприклад, псевдокiл) точнiсть зв'язуючого вiдображення є наслiдком властивостi перемiшування. В данiй статтi показано, що розглянутий тип примусового повернення не реалiзується для зв'язуючого вiдображення, що визначає псевдодугу.

On conjugacy of natural extensions of one-dimensional maps

“…W.R.R. Transue and the second author of the present paper constructed a transitive map f of [0, 1] onto itself such that lim ← − ([0, 1], f ) is homeomorphic to the pseudo-arc [33] (see also [19,26,27] for related constructions). It is possible that this map has the small folds property, but it is not apparent how to prove it.…”