Torsion des modules de Drinfeld de rang 2 et formes modulaires de Drinfeld

Abstract

On donne des résultats de non-existence pour les points rationnels de la courbe modulaire de Drinfeld affine Y 1 (p) avec p idéal premier de ‫ކ‬ q [T ]. Cette courbe classifie les modules de Drinfeld de rang 2 munis d'un point de torsion d'ordre p. Le premier énoncé concerne les points définis sur les extensions de ‫ކ‬ q (T ) quadratiques pour p de degré 3 et cubiques pour p de degré 4 et q ≥ 7. Le deuxième, conditionné à une dualité entre algèbre de Hecke et formes modulaires de Drinfeld, concerne les points sur les extensions de degré ≤ q pour deg p suffisamment grand. Comme conséquence, on déduit, sous la même condition, une borne uniforme pour la torsion des modules de Drinfeld de rang 2 définis sur les extensions de ‫ކ‬ q (T ) de degré ≤ q, prédite par Poonen.We give nonexistence results for rational points on the affine Drinfeld modular curve Y 1 (p) with p a prime ideal of ‫ކ‬ q [T ]. This curve classifies Drinfeld modules of rank 2 with a torsion point of order p. The first statement concerns points defined over quadratic extensions of ‫ކ‬ q (T ) for p of degree 3 and cubic extensions of ‫ކ‬ q (T ) for p of degree 4 and q ≥ 7. The second statement is valid under a duality condition between Hecke algebra and Drinfeld modular forms, and concerns points over extensions of degree ≤ q whenever deg p is sufficiently large. As a consequence we derive, under the same condition, a uniform bound for the torsion of rank-2 Drinfeld modules defined over extensions of ‫ކ‬ q (T ) of degree ≤ q, as predicted by Poonen.

A combinatorial Li–Yau inequality and rational points on curves

“…is monotonously increasing in λ, we find the result by plugging the data from equations (4), (5) and (6) in the lower bound from Theorem C.…”

“…The finite bound from these two results is not effective in the number of rational points. For effective results on the number of points of low degree on some Drinfeld modular curves, see for example Armana [6]. No analogue of Merel's theorem (uniform boundedness of torsion) is currently known for rank-two Drinfeld modules (compare also Poonen [50]).…”

Une base explicite de symboles modulaires sur les corps de fonctions

“…En suivant l'approche de Mazur et Merel, le théorème 7.102 permet d'établir une propriété d'immersion formelle puis une borne uniforme sous certaines conditions (essentiellement une dualité entre formes modulaires de Drinfeld et algèbre de Hecke). Ce résultat est paru séparément dans [1].…”

“…Considérons la droite projective P 1 (A/n) sur l'anneau fini A/n ; on note ses éléments (u : v). D'après Teitelbaum, le groupe abélien M n est alors isomorphe au quotient du groupe abélien libre Z[P 1 (1) pour tout δ 1 , δ 2 ∈ F × q et (u : v) ∈ P 1 (A/n). Notons ξ l'isomorphisme du quotient vers M n .…”

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“…Dans le cas des corps de fonctions, il s'avère que la propriété d'immersion formelle requise par Mazur [1978] est loin d'être évidente. L'objet principal de cet article, issu de la thèse [Armana 2008] débutée en 2003, est d'expliciter cette difficulté, ce qui n'avait pas été fait dans la littérature, et de détailler les liens entre immersion formelle, formes modulaires de Drinfeld et symboles modulaires. Ainsi ce travail s'appuie en partie sur [Armana 2011b].…”