Towards an inverse scattering theory for non-decaying potentials of the heat equation

Abstract

Abstract. The resolvent approach is applied to the spectral analysis of the heat equation with non decaying potentials. The special case of potentials with spectral data obtained by a rational similarity transformation of the spectral data of a generic decaying potential is considered. It is shown that these potentials describe N solitons superimposed by Bäcklund transformations to a generic background. Dressing operators and Jost solutions are constructed by solving a ∂-problem explicitly in terms of the corresponding objects associated to the original potential. Regularity conditions of the potential in the cases N = 1 and N = 2 are investigated in details. The singularities of the resolvent for the case N = 1 are studied, opening the way to a correct definition of the spectral data for a generically perturbed soliton.

Inverse scattering transform for the perturbed 1-soliton potential of the heat equation

“…Then the inverse problem is again given by Eqs. (5.20) and (5.21), where the spectral data r(k) are replaced with r(k) + (k + ia)(k + ia) (k − ia)(k − ia) r 0 (k), (6.3) where r(k) is of the type (5.11) and r 0 (k) are the spectral data of the potential u 0 (x) (see [11]). The theory of the heat equation with respect to the nonstationary Schrödinger equation is in some respects simpler and in some other respects unexpectedly more difficult.…”

“…In terms of the Jost solutions introduced above we can write the kernel of this resolvent obtained in [11] as…”

2D Toda chain and associated commutator identity

“…This system is a linearized version of the famous integrable system in (2+1)-dimesions (where one of variables is discrete): 2D infinite Toda chain, 6) that is known to have Lax pair…”

Коммутаторные Тождества На Ассоциативных Алгебрах И Интегрируемость Нелинейных Эволюционных Уравнений

“…Тогда, положив по аналогии с (2.2) 5) мы получаем, что в силу (2.4) эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению 6) являющемуся линеаризованной версией нелинейного уравнения, предложенного в [10]. В данном случае коммутативная алгебра коммутирующих потоков, заданных по-средством ad n , порождается двумя присоединенными элементами ad 1 и ad −1 .…”

“…Уравне-ние (3.32) означает, что ν -оператор одевания (преобразования). В [6] было показа-но, что при подстановке (3.27) в (3.29) мы получаем стандартное уравнение обратной задачи для решения Йоста [18], а второй оператор пары Лакса, равно как и диф-ференциальное уравнение для u(x, t) (для Фурье-преобразования u(p, t)), следуют из (3.28) и (3.29). Мы не воспроизводим здесь эти детали.…”