Türetim ile Z_(2^s )+uZ_(2^s ) Halkası Üzerinde Aykırı Devirli Kodlar

Abstract

Makale TarihçesiÖz − Kodlama teorisinde, lineer kodların özel bir sınıfı olan devirli kodlar ile ilgili araştırmalar büyük ilgi görmektedir. Bu ilginin en önemli nedenlerinden bazıları devirli kodların zengin cebirsel özelliklere sahip olmaları, birçok uygulama alanlarının bulunması, kodlama ve kod çözmede kolaylık sağlamaları olarak sayılabilir. Devirli kodların sabit-devirli, parçalı devirli ve yarı burmalı devirli kodlar gibi genellemeleri bulunmaktadır. Bu genellemelerin çoğunda değişmeli yapılar üzerinde çalışılmıştır. Son zamanlarda devirli kodların değişmeli olmayan halkalardaki üreteç polinomları kullanılarak bir başka genellemesi (aykırı devirli kodlar) tanımlanmıştır. Aykırı polinom halkalarının cebirsel özellikleri nedeniyle aykırı devirli kodlar optimal kod bulma açısından devirli kodlara göre daha avantajlıdır. Bu çalışmada u 2 =1 olmak üzere ℤ 4 +uℤ 4 halkası üzerinde tanımlı aykırı devirli kodlar için elde edilmiş bazı sonuçların s≥2 için S=ℤ 2 s+uℤ 2 s halkası için genellemesi yapılmıştır. θ, S üzerinde bir otomorfizm ve δ θ , S üzerinde bir türetim olmak üzere S[x,θ,δ θ ] aykırı polinom halkaları kullanılarak, δ θ -devirli kodlar tanımlanmıştır. S[x,θ,δ θ ] daki herhangi bir elemanın merkez eleman olabilmesi için gerek ve yeter koşul verilmiştir. δ θ dönüşümü ile S halkasının tüm elemanlarının görüntüleri elde edilmiş ve tanımlanan Gray dönüşümü ile S halkasının elemanları için Gray ağırlığı ile S nin θ tarafından sabit bırakılan alt halkası S θ tanımlanmıştır. Ayrıca bu kodların üreteç ve kontrol matrislerinin formu belirlenmiş ve özellikle s=4 için bazı örnekler verilmiştir.