Two-Point Problem for Linear Systems of Partial Differential Equations

Abstract

Запроваджено класи H, H δ , S δ лiнiйних систем рiвнянь iз частинними похiдними. Цi класи характеризуються нетривiальнiстю та наявнiстю степеневих оцiнок знизу для певних симетричних многочленiв вiд коренiв характеристичних рiвнянь даних систем. На пiдставi метричного пiдходу та теорiї симетричних многочленiв показано, що до запроваджених класiв належать майже всi системи рiвнянь iз частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами (стосовно мiри Лебега у просторi, натягнутому на коефiцiєнти системи). Дослiджено задачу з двома кратними вузлами за видiленою змiнною t та умовами перiодичностi за iншими координатами x 1 ,. .. , x p для лiнiйних систем рiвнянь iз частинними похiдними, якi належать до описаних класiв. Встановлено умови розв'язностi задачi у просторах гладких вектор-функцiй iз експоненцiйним спаданням вектор-коефiцiєнтiв Фур'є. Доведено, що оцiнки знизу для малих знаменникiв, достатнi для iснування розв'язку задачi, виконуються для майже всiх (стосовно мiри Лебега та фрактальної мiри Гаусдорфа) значень другого вузла iнтерполяцiї для лiнiйних систем з класiв H, H δ , S δ. Ключовi слова i фрази: двоточкова задача, системи рiвнянь iз частинними похiдними, малi знаменники, метричний пiдхiд. Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С. Пiдстригача НАН України, Львiв, Україна (Симотюк М. М.

TWO-POINT PROBLEM FOR LINEAR SYSTEMS OF PARTIAL DIffERENTIAL EQUATIONS

“…Важливими частковими випадками дослiджуваної задачi (1), (2) є: 1) задача з двома кратними вузлами iнтерполяцiї [4,10,12,13], коли…”

“…Розв'язнiсть двоточкових крайових задач з умовами вигляду (2), (4) для рiвнянь iз частинними похiдними дослiджено у роботах [4,10,12,13]. Так, у працi [10] встановлено умови коректної розв'язностi у соболєвськiй шкалi просторiв задачi з умовами (2), (4) для випадку гiперболiчних рiвнянь, якi мiстять похiднi за змiнною t тiльки парного порядку.…”

“…У роботах [12,13] запропоновано новий, порiвняно з методами в [4,10], метод доведення метричних теорем про оцiнки знизу для визначникiв задач з умовами (2), (4) для безтипних рiвнянь iз частинними похiдними. На основi цього методу у [12,13] встановлено розв'язнiсть таких крайових задач для майже всiх чисел T > 0 для довiльного безтипного рiвняння у просторах перiодичних функцiй експоненцiйного типу.…”

“…Дана робота розвиває i доповнює дослiдження, проведенi у [2,3,4,10,11,12,13,14], на випадок складнiших двоточкових умов (2).…”