Über die dichteste Kugelpackung im hyperbolischen Raum

Abstract

w 1. Einfiihrung Das Problem der dichtesten Packung gleich grol3er Kugeln ist bekanntlich fiir den n-dimensionalen Euklidischen Raum bei n =>3 noch ungel6st. Die beste bekannte obere Absch~itzung fiir die Dichte d einer solchen Lagerung stammt yon ROGERS [13]: Man lege um jeden Eckpunkt eines Iegulfiren Simplexes yon der Kantenl~inge 2r eine Kugel vom Radius r; bezeichnet d, die Dichte der Kugeln im Simplex, so gilt d<~do. Ffir einen beliebigen Raum konstanter Kriimmung wurde diese Abschgtzung 9 im Falle n = 2 yon FEJES TdTH [5] bewiesen und im Fallen-> 3 als Vermutung ausgesprochen [7]. Auf die interessanten FoIgerungen dieser Vermutung, insbesondere im Fallen == 3, haben unabh/tngig von einander FEJES TdTH [6] und COXETE~, [2] hingewiesen. Imw 2 beweisen wir die Richtigkeit der obigen Vermutung fiirn =3, indem wir zeigen, dab die Kugeldichte in jeder Dirichletschen Zelle ~ d 3 ist. Hieraus folgt u. a., dab die 120 Zelleninkugeln des spMrischen Mosaiks {5, 3, 3} eine dichteste Lagerung bilden. Noch interessanter ist aber der Fall des hyperbolischen Raumes. Hier ist n~imlich d3 = d(r) --wie imw 3 gezeigt wird --eine zunehmende Funktion yon r, so dab d~lim d(r)=0,853.., gilt. Die rechts stehende Dichtenschranke wird abet durch die Horosphfirenpackung, die aus den Zelleninkugeln des Mosaiks {6, 3, 3} besteht, tats/ichlich erreicht. Damit ist das Problem, der wievielte Teil des hyperbolischen Raumes sich durch kongruente Kugeln mit endlichem oder unendlichem Radius ausftillen 1/ii3t, vollst~indig gelSst. Zur Abschfitzung des Volumens der Dirichletschen Zelle einer Kugel ersetzen wir die Dirichletsche Zelle durch ihren Durchschnitt mit einer geeigneten konzentrischen Kugel. Dieser Kunstgriff riihrt yon FEJES T6T~ [4] her. Mit Hilfe einer Modifizierung des urspriinglichen Beweises yon FEJES T6TH erhielt MOLN~.R [11], [12] verschiedene bemerkenswerte Dichtenabschfitzungen in der nicht-Euklidischen Ebene. Die Ungleichung d<=d3 im nicht-Euklidischen Raum stammt vom ersten Verfasser, der zu diesen Untersuchungen durch Professor MOLNJ~R angeregt wurde. Den Beweis der Monotonie der Funktion d(r) hat der zweite Verfasser erbracht, nachdem ihn auf dieses Problem Professor FEJES TdTH aufmerksam gemacht hatte. Die unten benutzte Darstellung yon d(r) verdanken wir ebenfalls Herrn Professor tTEJES T6TH.

On the Density of Packings of Spheres in Spherical 3-Space*

“…In 1963 BÖ RÖ CZKY [3] proved FEJES T O OTH's conjecture (1) for n ¼ 3. More precisely: In S 3 , E 3 or H 3 consider a saturated packing of at least 4 spheres with radius r (on S 3 : r <=4).…”

“…The statement clearly implies that the density of packing with respect to the whole space S 3 or E Let us return to packings in 3-dimensional spaces, first in H 3 . In the common paper with BÖ RÖ CZKY [3], FLORIAN proved that d 3 ðrÞ is a strictly increasing function for 0<r <1. Thus the (local) density of any packing of equal spheres in H 3 satisfies…”

“…Combining the Theorem with RANKIN's result [14] for n ¼ 3 we see that BÖ RÖ CZKY's density bound d d 3 ðrÞ holds for 0<r arctan ffiffi ffi 2 p . It is remarkable that dðr 5 Þ is greater than the density of any packing of equal spheres in E 3 , see (3). This is in contrast to the corresponding situation in dimension 2, see [11].…”

New horoball packing density lower bound in hyperbolic 5-space

“…In [10] we proved that this optimal horoball packing configuration in H 3 is not unique. We gave several more examples of regular horoball packing arrangements based on asymptotic Coxeter tilings using horoballs of different types, that is horoballs that have different n-dim Optimal Coxeter simplex packing density Numerical Value d n (∞) ∆ relative densities with respect to the fundamental domain, that yield the Böröczky-Floriantype simplicial upper bound [4].…”

Simplices of Maximal Volume or Minimal Total Edge Length in Hyperbolic Space

“…He proved this property for n = 2, and stated it as a conjecture for n > 3. Using the later observation by Böröczky [2] that there is no reasonable notion of density of sphere packings relative to the whole space H n , [3,5] proved a modified version of this conjecture for n > 3. Several equivalent characterizations of regular hyperbolic simplices are given in [17].…”