Über eine topologische Verallgemeinerung von KRULLringen

Abstract

EinleitungEs werden topologische Ringe betrachtet, die Durchschnitte von diskreten Bewertungsringen sind und statt der Endlichkeitsbedingung der Kanwsinge eine topologische Endlichkeitsbedingung erftillen. Die dadurch definierten topologischen Kmmringe (Definition 2) erftillen h n n eine der Endlichkeitsbedingung der Kmmringe entsprechende Abziihlbarkeitsbdmgung (Proposition 1). Zu den topologischen Kmmringen gehoren insbesondere die in naturlicher Weise definierten topologischen ZPE-Ringe (Definition 5). Beispiele ftir eolche topologischen ZPE-Ringe sind die Ringe holomorpher Funktionen auf Rmm6a"schen Flbhen (Satz 2). Satz 3 behandelt ein entsprechendea p-adisches Beispiel.AuSerdem ist mit der Produkttopologie der Polynomring B[X] iiber einem topologischen I(I~ULL-bzw. ZPE-Ring wieder ein topologischer Hamring bzw. topologischer ZPE-Ring.In Abschnitt 2 werden die Divisorgruppe und der Hauptteilraum (Definition 8) eines topologischen K a w i n g e s mit einer in naturlicher Beziehung zur Ringtopologie stehenden Topologie versehen, durch die sie zu einer topologischen Grupp bzw. einem topologischen Vektomum werden. Strukturuntemuchungen fur die Divisorgruppe liefern dann analoge Resultate wie bei klmsiachen Jhmringen (Satz 5). Schliel3lich werdon Bedingmgen angegeben, unter denen topologische K m u r i n g e BEzouT-Ringe sind (Satz 6). Dim impliziert insbeaondere, dal3 die Ringe holomorpher Funktionen auf Rmmmschen Fliichen und auf C , BEzouT-Ringe sin&Dieae Arbeit ist Teil meiner Dissertation, die ich bei Professor W. JEHNE angefertigt habe. Ihm mochte ich an dieaer Stelle fiir die Anregung und Forderung der Arbeit herzIich danken. Topologhhe KauLLrhge nnd fopologk?he ZPE-RingeEs sei R ein Integrit&tsbereich, R sein Quotientenktirper und (wr)ieI eine Familie von nicht-iiquivalenten, einrangigen, diskreten Bewertungen von R.Ist R = n R,,, der Durohschnitt der Rewertungsringe Rei, so heiBt (wJiEI eine iEZ -

Rings which resemble rings of entire functions

“…Many results on the valuation theory of A(X) have also been obtained [1], [2]. In this note we show that a large portion of the results on the rings A(X) extend to the W-rings with complete principal divisor space which were defined by J. Klingen in [15], [16]. Therefore, many properties of A(C) are shared by its non-archimedian counterparts studied by M. Lazard, M. Krasner, and others [8], [17], [18].…”

“…Then by [8,17,18] L k shares many properties of the ring A(C) of entire functions. In [15,Satz 5.2] it was shown that L k is a VV-ring with representation field k and HT(L k ) complete. The following result shows that if k has cardinality 2 N°, then the ideal theory of L k is virtually identical to that of A(X) for any non-compact connected Riemann surface X.…”

“…By [16 Several examples of topological ZPE-rings are given in [15], [16]. In particular, if a domain R is a topological ZPE-domain, then so is the polynomial ring R[X] [16,Satz 4,p.…”