Überlinear konvergente Mehrschrittverfahren vom Regula falsi‐ und Newton‐Typ

Abstract

Ausgehend von der Regula falsi und dem Newton‐Verfahren zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystemen werden Mehrschrittverfahren entwickelt, welche sich gegenüber den Standardverfahren hinsichtlich der Effektivität in zwei Punkten auszeichnen: Sie haben einen höheren Wirkungsgrad schon dann, wenn man für den Aufwand allein die Anzahl der Funktionswertberechnungen berücksichtigt. Zusätzlich bringt die jetzt mögliche Anwendung der Formel von Sherman und Morrison bei der in jedem Iterationsschritt erforderlichen Auflösung von linearen Gleichungssystemen Einsparungen mit sich. Breiten Raum nimmt die Herleitung eines allgemeinen Konvergenzsatzes ein; er enthält als Sonderfälle den bekannten Satz von Kantorovich über das Newton‐Verfahren und einen entsprechenden Satz über die Regula falsi.

On Ulm’s method using divided differences of order one

“…Note that as we already showed in (2.29), h < d. Note also that (2.54) is the sufficient convergence condition for the Secant method (see [3,5,9,[13][14][15][16][17][18][19]):…”

“…A convergence analysis for Ulm's and Ulm's-type methods has been given in [1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12][13][14][15][16][17][18][19][20]. As it turns out although different approaches are used in the above references the crucial sufficient convergence hypothesis (see hypothesis (2.6)) remains the same.…”

“…The Secant method for solving operator equations in Banach spaces was generalized independently by Sergeev [19], and Schmidt [16]. An excellent semilocal convergence analysis of the Secant method in Banach spaces is given in [17,18].…”

Secant methods for sparse systems of nonlinear equations with a special structure

“…(Cf. in this connection also the papers of Danilin, Pgeni~ny~ [3] and Schmidt [11].) ]=or simplicity we introduce the abbreviations…”

Combination of the sequential secant method and Broyden's method with projected updates

“…In particular, the sequential secant method was introduced in 1959 by Bittner [2] and Wolfe [20]. Schmidt [17] introduced a family of multi-step algorithms, with a higher asymptotic efficiency than the standard methods, and gave a very general convergence theorem of Kantorovich type for these procedures. For a survey on secant-type methods until 1970, see [15]; and [19] for a nearly up-to-date review.…”