Uma Formulação Hibridizada de Elementos Finitos para Problemas Parabólicos

Abstract

RESUMO.Este trabalho trata da aplicação de um método de elementos finitos descontínuo hibridizado, combinado com aproximações de diferenças finitas para a variável temporal, visando a solução de problemas parabólicos. Tal proposta foi desenhada considerando-se uma aproximação espacial descontínua entre os elementos, com a continuidade ao longo das interfaces imposta fracamente através do uso de um multiplicador de Lagrange. A precisão e eficiência da metodologia, quando comparada a aproximações espaciais usuais, por exemplo, o método de Galerkin contínuo, são comprovadas pelas taxas de convergência exibidas. Além disso, demonstra-se queé possível eliminar oscilações espúrias associadas a discretizações espaciais usualmente obtidas com formulações contínuas convencionais em problemas de condução de calor.Palavras-chave: diferenças finitas, métodos híbridos, equação do calor, estabilização. INTRODUÇÃOProblemas parabólicos têm sido exaustivamente estudados sob os pontos de vista matemático e computacional. O método de Galerkin clássico, o qualé usualmente definido de maneira que a aproximação espacial seja contínua entre os elementos da discretização,é bastante empregado para resolver numericamente essa classe de problemas. Contudo, a aplicação desse método, quando combinado com aproximações por diferenças finitas na discretização da variável temporal, comumente denotado por metodologia semidiscreta usual, pode resultar no aparecimento de oscilações espúrias nos tempos iniciais [7].Neste trabalhoé proposto um método híbrido de elementos finitos, combinado com esquemas de diferenças finitas na integração temporal, visando resolver numericamente problemas parabólicos bi-dimensionais. Métodos híbridos de elementos finitos e de Galerkin Descontínuo (GD) [9] estão relacionados pelo uso de aproximações que utilizam funções localmente definidas (espaço de funções quebradas). Diferentemente dos métodos de GD, os métodos híbridos são * Este trabalho foi parcialmente apresentado no CNMAC2012 -Águas de Lindóia, SP.

Um Estudo de Estabilidade para uma Formulação Híbrida Primal Estabilizada Aplicada ao Problema de Calor

“…Com base nas ideias encontradas em [1], para o problema elíptico, uma formulação híbrida estabilizada para a variável espacial combinada com um esquema de Euler implícito para a variável temporal foi proposta em [4] para o problema parabólico. Essa formulação evita as oscilações espúrias que surgem nos tempos iniciais de simulação quando, por exemplo,é usado o método de Galerkin usual para discretização espacial.…”

“…2 evitar as soluções oscilações espúrias uma formulação híbrida estabilizada para a variável espacial combinada com um esquema de Euler implícito para a variável temporal foi proposta em [4] e uma análise numérica foi realizada em [2]. Essa formulação tem como base as mesmas ideias encontradas em Arruda et al [1], para o problema elíptico.…”

Análise de Estabilidade para uma Formulação Semi-Discreta Hı́brida Estabilizada Aplicada ao Problema do Calor

“…Com base nas mesmas ideias encontradas em [2], para o problema elíptico, uma formulação híbrida estabilizada para a variável espacial combinada com um esquema de Euler implícito para a variável temporal foi proposta em [4] para o problema parabólico. Esta formulação evita as oscilações espúrias que surgem nos tempos iniciais de simulação quando, por exemplo,é usado o método de Galerkin usual para discretização espacial.…”