Une dualité dans les algèbres de von Neumann

Extension de la catégorie des algèbres de Kac

“…Ces objets, ou des objets équivalents, ont été introduits indépen-damment par les auteurs [4], [9] et par G.I. Kac et L.S.…”

“…Vainerman [11], afin de rendre compte de la dualité des groupes localement compacts. A tout groupe localement compact G on peut en effet associer naturellement deux algèbres de Kac KS(G) et KA(G) dont les algèbres de von Neumann sous-jacentes sont respectivement JÎI(G) et L°°(G) (on se reportera à [4], 8.1.7).…”

“…Afin de munir la classe des algèbres de Kac d'une structure de catégorie, les auteurs ont introduit dans ( [4], chap. 5 et 6) la notion de 3<-morphisme.…”

“…On traite ici (5.4 et 5.10) du lien avec les îîC-morphismes définis en [4]; ces derniers apparaissent comme un cas particulier dont on donne une caractérisation algébrique. Plus généralement, tout 9€ -morphisme entre deux algèbres de Kac est aussi un cas particulier de 9€ Wi-flèche (5.2 et 5.6).…”

“…]\^=\e comme / est injectif, cela implique qu'il en est de même de e qui, d'après le second cas particulier ci-dessus, est donc un 3C -morphisme de K^ dans K^ ; en composant avec r on voit que er=5 est un 3^ -morphisme et qu'il résulte de (*) et [4], 6.2.2 que 7 est le 3^C-morphisme dual de 6, ce qui achève la démonstration. …”