Une Partition du Spectre d’un Endomorphisme Continu d’un Espace Vectoriel Topologique Complexe

Deprit, Agnès

doi:10.1016/s1385-7258(57)50007-3

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“…Wir verwenden dabei die von Deprit [2] gegebenen Definitionen des Spektrums und gelangen zu fotgenden Ergebnissen fiir eine zeilenfinite Matrix 21: Das Punktspektrum besteht aus h6chstens abz~ihlbar vielen Punkten yon K oder aus ganz K mit Ausnahme h6chstens abz~ihlbar vieler Punkte. In § 2 leiten wir das zitierte Ergebnis yon Ulm auf dem oben skizzierten Weg her und erweitern es durch Unterteilung des Spektrums.…”

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“…In der vorliegenden Arbeit halten wir uns an die yon Deprit[2] gegebenen Definitionen:Ist E ein topologischer linearer Raum, T ein stetiger Endomorphismus yon E in sich und I die identische Abbildung von E, so sei Unter einem Automorphismus verstehen wit wie iiblich eine eineindeutige lineare Abbitdung yon E auf sich. Wit werden die stetigen Endomorphismen von co mit den zeilenfiniten Matrizen identifizieren und setzen wie oben 9.IX =y mit ~=(~ik), X=(~1,42 .... )~CO, Y=(~h,~/2 .... )~CO und ~tk----~Ski~i i=1 (k = 1, 2 .... ).…”

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Das Spektrum zeilenfiniter Matrizen

Körber

1969

Math. Ann.

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Als erster untersuchte Toeplitz [7] die Aufl/Ssbarkeit ,,zeilenfiniter Gleichungssysteme", d. h. unendlicher linearer Gleichungssysteme, bei denen jede Gleichung nur endlich viele der unendlich vielen Unbekannten enth~ilt. Die Matrix der Koeffizienten eines solchen Gleichungssystems heil3t ,,zeilenfinit". Toeplitz fand seine Ergebnisse durch Ubertragung der S/itze tiber die Auf-16sung von n linearen Gleichungen mit u Unbekannten, deren Beweise den Determinantenbegriff nicht unbedingt erfordern. Durch Anwendung der Theorie unendlicher abelscher Gruppen gelangt Utm [8] zu folgender Aussage: Eine (abz~ihlbar unendliche) zeilenfinite Matrix 21 mit Koeffizienten aus einem K6rper P besitzt als Spektrum entweder h6chstens abz~ihlbar viele Werte aus P oder alle Elemente aus P mit h6chstens abz/ihlbar vielen Ausnahmen. Zum Spektrum z~ihlt Ulm diejenigen Werte 2 aus P, f'fir die 2t -2 ~ (~ Einheitsmatrix) keine eindeutige zeilenfinite Reziproke besitzt. Er unterteilt das Spektrum nicht weiter. Fiir die praktische Ermittlung des Spektrums einer zeilenfiniten Matrix ist die Methode yon Ulm kaum geeignet. Wit schlagen deshalb einen anderen Weg ein, um das Spektrum einer zeilenfiniten Matrix mit Elementen aus dem K6rper K der komplexen Zahlen zu untersuchen. Wir fassen die zeilenfiniten Matrizen als stetige Endomorphismen des Raumes co aller komptexen Zahtenfolgen auf. Unter Ausnutzung der zwischen co und dem Raum ~o aller komplexen Zahlenfolgen (~,), die nut endlich viele von Null verschiedene ~, enthalten, bestehenden Dualit~it k6nnen wir die Untersuchung des Spektrums einer zeilenfiniten Matrix auf die Untersuchung endlicher linearer Gleichungssysteme zuriickffihren. In § 1 stetlen wir einige bekannte Eigenschaften der R~iume mund q~ und ihrer Endomorphismen zusammen. In § 2 leiten wir das zitierte Ergebnis yon Ulm auf dem oben skizzierten Weg her und erweitern es durch Unterteilung des Spektrums. Wir verwenden dabei die von Deprit [2] gegebenen Definitionen des Spektrums und gelangen zu fotgenden Ergebnissen fiir eine zeilenfinite Matrix 21: Das Punktspektrum besteht aus h6chstens abz~ihlbar vielen Punkten yon K oder aus ganz K mit Ausnahme h6chstens abz~ihlbar vieler Punkte. Das kontinuierliche Spektrum ist stets leer. Das Residualspektrum ist h~ichstens abz/ihtbar. Das Spektrum ist nie leer. Diese letzte Eigenschaft findet sich bereits bei Landsberg [6]. Wir geben bier einen neuen Beweis, der den Beweismethoden ffir die iibrigen Eigenschaften angepagt ist. Weiter geben wir noch entsprechende Aussagen fiir die zu 21 transponierte Matrix an, die wir als Endomorphismus yon q0 auffassen. § 2 wird abgeschlossen durch Beispiele,

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