Universal Extensions and One Dimensional Crystalline Cohomology

Deligne’s conjecture on 1-motives

“…(See [10], [21] and also [2].) Indeed, if 0 → V → M → M → 0 is an extension by a k-vector space V which is identified with a k-group scheme, it gives a morphism…”

Complexe de de\thinspace Rham-Witt et cohomologie cristalline

“…Si l'on désigne la somme précédente par H 2 (X/W)^ (partie « divisorielle » de la torsion), on prouve en effet (6.16) que le quotient de la torsion de H 2 (X/W) par H^X/W)^ contient le quotient de l'espace des 1-formes globales fermées par le sous-espace des formes indéfiniment fermées (02.5.1), quotient qui peut être non nul comme le montrent des exemples de Mumford-Oda [56] et W. Lang [44]. L'outil essentiel qu'on utilise dans cette étude est une extension canonique du faisceau des covecteurs de Witt CW^x P^ le complexe de De Rham-Witt, variante de l'extension universelle de la théorie de Dieudonné cristalline ( [50], [10]). Cette extension permet notamment de faire le lien entre le sous-espace H^X/W)^ ci-dessus et le sous-espace canonique de ïî^(X/k) construit par Oda [56].…”

Poisson algebras via model theory and differential-algebraic geometry

“…Let A be an abelian variety over k, and let A be the universal vectorial extension of A. So is a connected commutative algebraic group over k equipped with a surjective morphism of algebraic groups p : A → A whose kernel is isomorphic to an algebraic vector group, and moreover, we have the universal property that p factors uniquely through every such extension of A by a vector group. The existence of this universal object goes back to Rosenlicht [43], but see also the more modern and general algebro-geometric treatment in [35]. The dimension of A is twice that of A.…”