Virtual Crossing Number and the Arrow Polynomial

Dye, Heather A.; Kauffman, Louis H.

doi:10.1142/s0218216509007166

Cited by 99 publications

(115 citation statements)

References 14 publications

Supporting

Mentioning

114

Contrasting

Unclassified

Order By: Relevance

“…This refinement generalizes the usual Kauffman bracket in the case of classical knots. There are many refinements of the Kauffman bracket for the case of virtual knots (see, e.g., [25,51,52,165,177] and references therein).…”

Section: An Analog Of the Kauffman Bracketmentioning

confidence: 99%

Parity in knot theory and graph-links

2013

View full text Add to dashboard Cite

The present monograph is devoted to low-dimensional topology in the context of two thriving theories: parity theory and theory of graph-links, the latter being an important generalization of virtual knot theory constructed by means of intersection graphs. Parity theory discovered by the second-named author leads to a new perspective in virtual knot theory, the theory of cobordisms in two-dimensional surfaces, and other new domains of topology. Theory of graph-links highlights a new combinatorial approach to knot theory.

show abstract

Section: An Analog Of the Kauffman Bracketmentioning

confidence: 99%

Parity in knot theory and graph-links

2013

View full text Add to dashboard Cite

show abstract

“…Скобка Кауфмана В настоящем параграфе мы построим аналог скобки Кауфмана ⟨ · ⟩ для тео-рий узлов с четностью, который обобщает обычную скобку Кауфмана в случае классических узлов. Имеется много усилений скобки Кауфмана на случай вир-туальных узлов; см., например, статьи [8], [25]- [27] и ссылки в них.…”

Section: рис 18 минимальная гауссова диаграммаunclassified

Четность В Теории Узлов

Manturov¹

2010

Матем. сб.

View full text Add to dashboard Cite

Четность в теории узловВ работе исследуются теории узлов, обладающие свойством четности перекрестков: каждый перекресток объявляется четным или нечетным со-гласно некоторому наперед заданному правилу. Если это правило удовле-творяет набору простых аксиом, связанных с движениями Рейдемейстера, это приводит к возможности построения простых инвариантов, решающих проблему минимальности, а также инвариантных отображений на множе-стве узлов.Самым главным примером теории узлов с четностью является теория виртуальных узлов. С использованием четности, происходящей из гауссо-вых диаграмм, мы показываем, что даже резкое упрощение теории вир-туальных узлов -теория свободных узлов -допускает простые и глубоко нетривиальные инварианты, что является решением проблемы Тураева, предположившего, что все свободные узлы тривиальны.В работе доказывается, что свободные узлы, вообще говоря, не обра-тимы, и приводятся инварианты, распознающие обратимость свободных узлов.Переход к обычным виртуальным узлам позволяет усиливать извест-ные инварианты (такие, как скобка Кауфмана) посредством соображений, связанных с четностью.Обсуждаются другие примеры теорий узлов с четностью. Библиография: 27 названий.Ключевые слова: узел, зацепление, граф, атом, виртуальный узел, четность, скобка Кауфмана, минимальность. § 1. Введение Как известно со времен К. Гаусса, узел можно кодировать хордовой диаграм-мой с некоторой дополнительной информацией. Рассматривая диаграмму узла как погружение окружности в плоскость и соединяя на окружности хордами те точки, которые имеют одинаковые образы, мы получаем хордовую диаграмму. Гауссовой диаграммой называется хордовая диаграмма, снабженная дополни-тельной информацией: указанием на хорде знака перекрестка (плюс для и минус для ), а также стрелкой, направленной от прообраза дуги, образующей переход, к прообразу дуги, образующей проход.Скажем, что две хорды зацеплены, если концы одной из них лежат в разных компонентах связности множества, полученного удалением из окружности кон-цов другой. Назовем хорду четной, если количество хорд, зацепленных с ней, Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных ис-следований (грант № 07-01-00648) и Аналитической ведомственной целевой программы "Раз-витие научного потенциала высшей школы". четно, и нечетной в противном случае (считается, что хорда не зацеплена са-ма с собой). Далее для хорд a, b будем писать ⟨a, b⟩ = 0 ∈ Z 2 , если a, b не зацеплены, и ⟨a, b⟩ = 1 ∈ Z 2 , если они зацеплены.Как было замечено Гауссом, все хорды гауссовой диаграммы классического узла четные.Движения Рейдемейстера для диаграмм классических узлов естественным образом переписываются на языке гауссовых диаграмм. При этом не всякая гауссова диаграмма реализует классический узел. В частности, к таким нере-ализуемым диаграммам относятся диаграммы, имеющие нечетные хорды.Виртуальный узел (см.[1]) возникает как естественное обобщение класси-ческого узла. Это класс эквивалентности произвольных гауссовых диаграмм по формальным движениями Рейдемейстера. Оказывается, наличие нечетных ...

show abstract

“…We also refer to A[K] as the arrow polynomial [4]. The arrow polynomial has infinitely many variables and integer coefficients.…”

Section: Section 9 Constructs a Simple Extended Bracket Invariant Denmentioning

confidence: 99%