Zeros de polinômios palindrômicos de grau ímpar

Abstract

RESUMOSeja P (z) = a 0 + a 1 z + ... + a n z n um polinômio de grau n, n ≥ 1, a i ∈ R, i = 0, ..., n. Então Pé palindrômico se a i = a n−i , para todo i = 0, 1, ..., n. O comportamento dos zeros dos polinômios palindrômicos, além de ser um interessante tópico a ser estudado, tem muitas aplicações em algumasáreas da Matemática [2,6]. Tais zeros possuem algumas propriedades especiais, como a simetria tanto em relaçãoà reta real quanto ao círculo unitário, por exemplo.Atualmente, um tema que está atraindo a atenção de alguns matemáticos está relacionadò a quantidade de zeros que um polinômio palindrômico possui no círculo unitário. Pesquisas recentes (ver [3,4]) estabelecem condições para que todos os zeros de um polinômio palindrômico estejam localizados em |z| = 1.Com base nos estudos de [3], apresentaremos, neste trabalho, condições necessárias e suficientes para que os zeros do polinômio palindrômico R(z) = 1 + λ(z + z 2 + ... + z n−1 ) + z n , com λ ∈ R e nímpar, estejam localizados no círculo unitário, ou seja, na região |z| = 1. Tais condições estão representadas no teorema abaixo, que será o foco principal deste trabalho, onde maiores detalhes podem ser encontrados em [1].Teorema 1: Os zeros do polinômio R(z) = 1 + λ(z + z 2 + ... + z n−1 ) + z n , λ ∈ R, de grau n > 1 ımpar, estão sobre o círculo unitário se, e somente se,Para exemplificar, seja o polinômio R(z) = 1+λ z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 . Através do Teorema 1, segue que os zeros de R(z) encontram-se em |z| = 1 se, e somente se, − 1 2 ≤ λ ≤ 5 2 . A Figura 1 mostra a localização dos zeros de R(z) quando λ = 9.5 4 . Podemos observar que os zeros de R(z) encontram-se em |z| = 1, pois para λ = 9.5 4é satisfeita a condição do teorema. Já no caso da Figura 2, podemos observar que nem todos os zeros de R(z) = 1 + 3 z + z 2 + z 3 + z 4 + z 5 encontram-se em |z| = 1, pois a condição estabelecida através do Teorema 1 nãoé satisfeita.