Zur Jordan-Normalform durch den Faktorraum

Abstract

A short and really elementary proof is given for the existence of a Jordan canonical form of any matrix with elements in an algebraically closed field. The proof is by induction and explicit calculation and needs as prerequisite the notion of factor space.Zu jeder quadratischen Matrix A mit Elementen aus einem beliebigen (kommutativen) Körper K gibt es die Jordan-Normalform J von A, wenn man im algebraischen Abschluû von K rechnet. J ist durch A (bis auf die Reihenfolge der Jordan-Kästchen) eindeutig bestimmt und ähnlich zu A; es gibt also eine nichtsinguläre Matrix T mit Elementen aus dem algebraischen Abschluû von K, so daû gilt: J T À1 AT.Es gibt verschiedene Zugänge zur Jordan-Normalform und einige unterschiedliche Beweise für die Existenz der Jordan-Normalform. Immer wieder wird von neuem Mühe darauf verwendet, diese Beweise noch einfacher und durchsichtiger zu gestalten. Literaturangaben und Bemerkungen zu einigen Beweisen findet man etwa in [3]. Zwei neuere Arbeiten mit weiteren Literaturangaben sind im Literaturverzeichnis aufgeführt.Der im folgenden angegebene Beweis ist ein Induktionsbeweis. Der einfacheren Aufschreibung halber verwendet der Beweis nicht die Jordan-Normalform einer Matrix sondern die Jordan-Basis eines Vektorraums bezüglich einer linearen Abbildung, wobei die Basisvektoren in geeigneter Weise doppelt indiziert werden. Vorbereitungen oder Hilfssätze werden nicht benötigt. Trotzdem zeichnet sich der Beweis durch Kürze aus. D e f i n i t i o n . Seien n eine natürliche Zahl, K ein (kommutativer) Körper, V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und f eine lineare Selbstabbildung von V. Dann heiût eine Basis B X fb 1Y1 rYkr g von V eine Jordan-Basis von V bezüglich f , wenn für i 1Y 2Y F F F Y r gilt:B e m e r k u n g. Vertauscht man in einer Jordan-Basis eine ganze Gruppe von Basisvektoren mit gleichem ersten Index mit einer anderen solchen Gruppe von Basisvektoren mit gleichem ersten Index, so erhält man offenbar wieder eine Jordan-Basis.