Εκτιμητές τύπου Strawderman για παραμέτρους κλίμακας

Abstract

Βασικές έννοιες και γνωστά αποτελέσµαταΣε αυτήν την περίπτωση ο T 2 καλείται µη αποδεκτός (inadmissible). Αν δεν υπάρχει καλύτερος εκτιµητής από τον T 2 , τότε αυτός καλείται αποδεκτός (admissible).Παρατήρηση 2.1. Ο εκτιµητής T 1 του παραπάνω ορισµού συχνά ϑα αναφέρεται στη συνέχεια και ως ϐελτιωµένος εκτιµητής (improved estimator). Αναλλοίωτοι εκτιµητές΄Εστω X ⊂ R n , n 1, το σύνολο των δυνατών τιµών δεδοµένων X και G ένα σύνολο ένα προς ένα και επί µετασχηµατισµών του X στον εαυτό του που είναι οµάδα µε πράξη τη σύνθεση. Θεωρούµε το πρόβληµα εκτίµησης του τ (θ) µε συνάρτηση Ϲηµίας L(t, θ) και έστω A = τ (Θ). Το σύνολο A καλείται χώρος δράσης (action space) του προβλήµατος.Ορισµός 2.2. Το πρόβληµα εκτίµησης του τ (θ) καλείται αναλλοίωτο ως προς την οµάδα µετασχηµατισµών G, αν ∀ g ∈ G υπάρχουν αντιστρέψιµοι µετασχηµατισµοίḡ : Θ −→ Θ καιg : A −→ A, τέτοιοι ώστε αν τα δεδοµένα X έχουν κατανοµή P θ , να ισχύουν τα ακόλουθα.΄Εστω ότι το πρόβληµα εκτίµησης του τ (θ) είναι αναλλοίωτο ως προς G. Τότε δίνεται ο εξής ορισµός. Ορισµός 2.3. ΄Ενας εκτιµητής T (X) του τ (θ) (µε τιµές στοΑν στην κλάση αυτών των εκτιµητών υπάρχει κάποιος που ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση κινδύνου, τότε αυτός καλείται ϐέλτιστος G-αναλλοίωτος (ή ο καλύτερος στην κλάση G) εκτιµητής του τ (θ).Από τον ορισµό του αναλλοίωτου προβλήµατος εκτίµησης προκύπτει ότι κάθε µετασχηµατισµός g ∈ G επάγει ένα µετασχηµατισµόḡ του παραµετρικού χώρου Θ στον εαυτό του. ΄ΕστωḠ το σύνολο αυτών των µετασχηµατισµών.Ορισµός 2.4. Για κάθε θ 0 ∈ Θ το σύνολο {ḡ(θ 0 ) :ḡ ∈Ḡ} λέγεται G-τροχιά ( orbit) του θ 0 .Η G-τροχιά του θ 0 είναι δηλαδή το σύνολο των θ ∈ Θ, τα οποία είναι εικόνες του θ 0 µέσω (όλων) των µετασχηµατισµώνḡ ∈Ḡ. Οι G-τροχιές ορίζουν κλάσεις ισοδυναµίας στον παραµετρικό χώρο Θ. Το επόµενο ϑεώρηµα παρουσιάζει µία σηµαντική ιδιότητα των αναλλοίωτων εκτιµητών, η οποία σε αρκετές περιπτώσεις χρησιµεύει στην εύρεση του ϐέλτιστου G-αναλλοίωτου εκτιµητή.