Εφαρμογές Της Γεωμετρίας Της Πληροφορίας

Abstract

Η Γεωμετρία της πληροφορίας, αποτελεί στην ουσία κλάση γεωμετριών που χαρακτηρίζονται από μετρικές και αντίστοιχες συνοχές με περιεχόμενο που συσχετίζεται με την διαθέσιμη πληροφορία κατά την εκτίμηση παραμέτρων κλασικών ή κβαντικών συστημάτων. Γνωρίζουμε ότι κατά την εκτίμηση παραμέτρων δεν μπορούμε να πετύχουμε την τελειότητα. Υπάρχει ένα κάτω φράγμα, το οποίο δεν είναι μηδενικό, για την διασπορά - συνδιασπορά της εκτιμώμενης παραμέτρου σε σχέση με την πραγματική, το φράγμα Cramer - Rao. Στην κλασική εκτίμηση παραμέτρων αυτό το φράγμα δίνεται από τον αντίστροφο της πληροφορίας κατά Fisher και είναι μοναδικό, με την έννοια ότι η μετρική Fisher είναι η μοναδική μονότονη μετρική κάτω από στοχαστικούς μετασχηματισμούς. Στην κβαντική εκτίμηση παραμέτρων υπάρχει μια κλάση μονότονων μετρικών και το ελάχιστο πιθανό φράγμα, που καθορίζει και την βέλτιστη ποιότητα της εκτίμησης δίνεται από αυτό της συμμετρικής λογαριθμικής παραγώγου. Ο όρος "συμμετρική" προσδιορίζει το είδος της παραγώγου. Προσδιορισμός, ο οποίος εδώ είναι απαραίτητος λόγω της μη αντιμετάθεσης, γενικά, τελεστών στην κβαντική μηχανική. Στην πρώτη δημοσιευμένη εργασία στα πλαίσια αυτής της διατριβής, ξεφεύγουμε από το αυστηρό πλαίσιο των μονότονων μετρικών. Περνώντας στο χώρο των φάσεων ορίζουμε μια μετρική με στατιστικό περιεχόμενο, ορίζοντας λογαριθμικές παραγώγους μέσω της κατανομής Q - Husimi και από αυτές την καινούργια μετρική. Όπως προκύπτει, το συνεπαγόμενο φράγμα τύπου Cramer -Rao μπορεί να είναι μεγαλύτερο και από αυτό της συμμετρικής λογαριθμικής παραγώγου.Στην δεύτερη εργασία, επιστρατεύουμε συγκεκριμένη διπαραμετρική οικογένεια γενικευμέων εντροπιών που χρησιμοποιήθηκαν για την ταξινόμηση των πολύπλοκων συστημάτων. Αφού ορίσουμε απόκλιση για την διακριτή κατανομή, περνάμε μέσω αυτής σε μετρική και κατ' επέκταση και στη συνοχή Levi - Civita που εξαρτώνται πλέον από αυτές τις δυο παραμέτρους, έστω c και d. Έτσι έχουμε γεωμετρικά αντικείμενα, με στατιστικό περιεχόμενο όπως το φράγμα Cramer - Rao και η βαθμωτή καμπυλότητα, τα οποία είναι χαρακτηριστικά (και διαφορετικά) για κάθε κλάση συστημάτων.Στην τρίτη εργασία χρησιμοποιούμε τις προαναφερθείσες παραμέτρους c και d ως συντεταγμένες διδιάστατης πολλαπλότητας. Υπολογίζοντας την μετρική Fisher και την συνεπαγόμενη βαθμωτή καμπυλότητα παρατηρούμε ιδιομορφίες για συγκεκριμένες τιμές των c και d οι οποίες εικάζουμε συσχετίζονται με συγκεκριμένες ιδιότητες πολύπλοκων συστημάτων.Τέλος, αναδεικνύουμε συσχέτιση μεταξύ της καμπυλότητας συγκεκριμένης πολλαπλότητας και της κβαντικής σύμπλεξης. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε την εντροπία της σύμπλεξης για να ορίσουμε διδιάστατη πολλαπλότητα την οποία εμβαπτίζουμε στον τριδιάστατο πραγματικό χώρο. Βρίσκουμε ότι εκεί που αυτή η επιφάνεια έχει μεγάλη καμπυλότητα έχουμε κβαντικές καταστάσεις γινομένου και μόνο.