Θεωρία Νηματικών Δεσμών Και Η Εφαρμογή Τους Στις Συμμετρίες

Abstract

Η συμμετρία μίας διαφορικής εξίσωσης αποτελεί ένα σημειακό μετασχηματισμό ο οποίο αφήνει αναλλοίωτες την οικογένεια των λύσεων της διαφορικής εξίσωσης. Υπάρχουν τρεις βασικοί τύποι συμμετριών των διαφορικών εξισώσεων: Οι συμμετρίες Lie, οι Noether και οι Cartan. Εάν ο σημειακός μετασχηματισμός λαμβάνει χώρα στο θεσεογραφικό χώρο τότε η συμμετρία αποτελεί μία σημειακή συμμετρία, διαφορετικά καλείται δυναμική συμμετρία (dynamical symmetry). Εκτός από αυτούς τους τύπους των συμμετριών των διαφορικών εξισώσεων υπάρχει και ένας ακόμα τύπος γεωμετρικών συμμετριών προερχόμενες από τα διανυσματικά πεδία X τα οποία αποτελούν λύση των εξισώσεων της μορφής L_X A= B, όπου το A αποτελεί ένα γεωμετρικό αντικείμενο το οποίο καθορίζεται μέσω της μετρικής και το B είναι ένα τανυστικό πεδίο με τον ίδιο αριθμό και τύπο δεικτών με αυτούς του A. Τέτοιοι τύποι συμμετριών αποτελούν τα διανυσματικά πεδία Killing, (Killing vectors), το ομοθετικό διανυσματικό πεδιο, (Homothetic Killing vector), τα σύμμορφα διανυσματικά πεδία Killing, (Conformal Killing vectors) κ.α.. Σε αυτή τη διδακτορική διατριβή μελετώνται οι συμμετρίες Lie, Noether και Cartan των εξισώσεων κίνησης, διαφορικών εξισώσεων δεύτερης τάξης ενός δυναμικού συστήματος. Επεκτείνουμε προηγούμενα αποτελέσματα κατά τα οποία οι συμμετρίες των διαφορικών εξισώσεων συσχετίζονται με τις γεωμετρικές συμμετρίες της μετρικής όπως αυτή καθορίζεται μέσω της κινητικής ενέργειας (kinetic metric) στην περίπτωση μη αυτόνομων δυναμικών συστημάτων που παρουσιάζουν γραμμική απόσβεση. Εφαρμόζουμε τις συμμετρίες Cartan στην Κοσμολογία βαθμωτού πεδίου (scalar field Cosmology) χρησιμοποιώντας τη δισδιάστατη minisuperspace συνάρτηση Lagrange και προσδιορίζουμε τις συναρτήσεις Δυναμικού για τις οποίες τα επαγόμενα δυναμικά συστήματα είναι ολοκληρώσιμα. Σε κάθε περίπτωση προσδιορίζουμε την αντίστοιχη αναλυτική λύση. Τέλος, αναπτύσσεται μια συστηματική μεθοδολογία μέσω της οποίας προσδιορίζονται όλα τα τετραγωνικά πρώτα ολοκληρώματα διαφορικών εξισώσεων, χωρίς τη χρήση συμμετριών αλλά χρησιμοποιώντας γεωμετρικές μεθόδους. Ακόμα, δείχνουμε πως κάθε τέτοιο πρώτο ολοκλήρωμα μπορεί να προκύψει ως ένα γενικευμένο ολοκλήρωμα Noether μέσω της χρήσης του αντίστροφου Θεωρήματος της Noether. Γι αυτό τον σκοπό εφαρμόζουμε την παραπάνω μεθοδολογία σε συγκεκριμένα παραδείγματα.