Μελέτη Μη Ανανεωτικών Στοχαστικών Μοντέλων Στη Θεωρία Κινδύνου

Abstract

Η αρχή της μαθηματικής θεωρίας κινδύνου προσδιορίζεται στις αρχές του 20ου αιώνα, όταν οι μαθηματικοί Filip Lundberg και Harald Cramer με μια σειρά από εργασίες τους ενσωμάτωσαν τη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών στην αναλογιστική επιστήμη. Πρόσφατα, οι Gerber και Shiu, με την εργασία τους ’On the time value of ruin’ [(1998), North American Actuarial Journal], έδωσαν μια πρωτόγνωρη άνθηση στη μαθηματική 'θεωρία κινδύνου. Στην προαναφερόμενη εργασία οι Gerber και Shiu κατάφεραν να ενσωματώσουν όλα τα μέτρα κινδύνου, που ενδιαφέρουν έναν ασφαλιστικό οργανισμό, σε μία μόνο συνάρτηση, την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ή συνάρτηση των Gerber-Shiu, εν συντομία. Για την αναλυτική μελέτη της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής τόσο για το κλασσικό, όσο και το ανανεωτικό μοντέλο τη 'θεωρίας χρεοκοπίας παραπέμπουμε στους Gerber και Shiu (1998,2005), καθώς και στο Κεφ. 1. Κύρια υπόθεση στα προαναφερόμενα μοντέλα είναι η ανεξαρτησία μεταξύ του χρόνου εμφάνισης των κινδύνων και του ύψους του μεγέθους της ζημιάς που προκύπτει από την εμφάνιση αυτών. Στην πράξη η προαναφερόμενη υπόθεση φαίνεται να είναι πολύ δεσμευτική και δεν αντικατοπτρίζει την εξάρτηση που υπάρχει μεταξύ των χρόνων εμφάνισης των κινδύνων και του μεγέθους των ζημιών. Σκοπός της συγκεκριμένης διατριβής είναι η μελέτη της συνάρτησης των Gerber-Shiu σε μοντέλα κινδύνου, όπου οι χρόνοι εμφάνισης των ζημιών και τα μεγέθη των αντίστοιχων ζημιών παρουσιάζουν (ανομοιογένεια) εξάρτηση μεταξύ τους. Αρχικά στο Κεφ. 1 δίνουμε μια λεπτομερή περιγραφή του ανανεωτικού μοντέλου της θεωρίας χρεοκοπίας και παρουσιάζουμε τα πιο σημαντικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση Gerber-Shiu για το προαναφερόμενο μοντέλο. Επίσης, στο ίδιο κεφάλαιο, περιγράφουμε λεπτομερώς δύο μη-ανανεωτικά μοντέλα κινδύνου: το Markov-modulated Poisson και το κλασσικό μοντέλο της θεωρίας χρεοκοπίας με απαιτήσεις που εμφανίζουν χρονική υστέρηση. Επιπλέον, δίνουμε τα κυριότερα αποτελέσματα για τη συνάρτηση Gerber-Shiu για τα παραπάνω δύο μοντέλα μη-ανανεωτικά μοντέλα και συγκρίνουμε τα αντίστοιχα αποτελέσματα με το ανανεωτικό μοντέλο της θεωρίας χρεοκοπίας. Στο Κεφ. 2 εισάγουμε και δίνουμε μια αναλυτική περιγραφή ενός μη-ανανεωτικού μοντέλου με δύο κλάσεις κινδύνων, όπου υποθέτουμε ότι στην πρώτη και στη δεύτερη κλάση ο αριθμός των κινδύνων είναι μια στοχαστική διαδικασία Poisson και μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία με γενικευμένους Erlang(2) ενδιάμεσους χρόνους, αντίστοιχα. Στο ίδιο κεφάλαιο δείχνουμε πως η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί μια ελαττωματική ανανεωτική εξίσωση και δίνουμε την λύση αυτής. Επίσης, για το προαναφερόμενο μοντέλο εισάγουμε μια στρατηγική σταθερού μερίσματος και δείχνουμε τον τρόπο υπολογισμού της συνάρτησης Gerber-Shiu και των ροπών των προεξοφλημένων μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη της προαναφερόμενης στρατηγικής. Ακόμη, το ίδιο μοντέλο με τα αντίστοιχα αποτελέσματα μελετώνται στην περίπτωση μιας στρατηγικής πολλαπλών μερισμάτων, γενικεύοντας τη στρατηγική σταθερού μερίσματος. Επιπλέον, στο Κεφ. 3 εισάγουμε ένα μοντέλο με δύο κλάσεις κινδύνων και έναν όρο διάχυσης, όπου στην πρώτη και στη δεύτερη κλάση υποθέτουμε ότι ο αριθμός των κινδύνων είναι μια στοχαστική διαδικασία Poisson και μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία με γενικευμένους Erlang(n) ενδιάμεσους χρόνους, αντίστοιχα. Στο ίδιο κεφάλαιο βρίσκουμε αναλυτικούς τύπους για τον υπολογισμό της συνάρτησης των Gerber-Shiu, καθώς και για τις ροπές της παρούσας αξίας των μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη μιας στρατηγικής σταθερού μερίσματος. Στο Κεφ. 4 θεωρούμε ένα «γενικό» μοντέλο με δύο κλάσεις κινδύνων, όπου σε κάθε κλάση ο αριθμός των κινδύνων είναι μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία με phase-type ενδιάμεσους χρόνους άφιξης. Επιπλέον, θεωρούμε την ύπαρξη μιας στρατηγικής πολλαπλών μερισμάτων και δίνουμε αναλυτικά αποτελέσματα τόσο για την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής, όσο και για την αναμενόμενη παρούσα αξία των μερισμάτων κάτω από την ύπαρξη της προαναφερόμενης μερισματικής στρατηγικής. Επιπροσθέτως, στο Κεφ. 5 γενικεύουμε το Markov-modulated Poisson μοντέλο κινδύνου εισάγοντας το Markov-modulated ανανεωτικό μοντέλο κινδύνου. Στο συγκεκριμένο μοντέλο υποθέτουμε ότι ο αριθμός των κινδύνων καθώς και τα μεγέθη των ζημιών εξαρτώνται από μια αλυσίδα Markov συνεχούς χρόνου. Σε κάθε κατάσταση της προαναφερόμενης αλυσίδας θεωρούμε ότι ο αριθμός των κινδύνων είναι μια ανανεωτική στοχαστική διαδικασία με Erlang ενδιάμεσους χρόνους άφιξης. Κάτω από τις παραπάνω υποθέσεις δίνουμε αναλυτικά αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber-Shiu. Επίσης θεωρούμε το ίδιο μοντέλο κάτω από την ύπαρξη μιας στρατηγικής σταθερού μερίσματος και δείχνουμε τον τρόπο υπολογισμού της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής. Τέλος, στο Κεφ. 6 θεωρούμε μια επέκταση του κλασσικού μοντέλου με απαιτήσεις που εμφανίζουν χρονική υστέρηση, εισάγοντας έναν επιπλέον όρο διάχυσης. Κάτω από αυτή την τροποποίηση δείχνουμε ότι η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί μια ελαττωματική ανανεωτική εξίσωση και δίνουμε τη λύση αυτής. Επιπλέον, θεωρούμε το ίδιο μοντέλο κάτω από την ύπαρξη μιας στρατηγικής πολλαπλών μερισμάτων και αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση των Gerber-Shiu ικανοποιεί ένα ολοκληρωτικό σύστημα τύπου Volterra δευτέρου είδους, η λύση του οποίου δίνεται χρησιμοποιώντας την προαναφερόμενη ελαττωματική ανανεωτική εξίσωση του ίδιου μοντέλου, χωρίς την ύπαρξη της μερισματικής στρατηγικής