Πιθανοτική Μελέτη Του Τμήματος Συγκέντρωσης Ροών Σε Δυαδικές Ακολουθίες

Abstract

Θεωρούμε μια πεπερασμένου μήκους ακολουθία δυαδικών (αποτυχία - επιτυχία) τυχαίων μεταβλητών. Τα στοιχεία της ακολουθίας θεωρούνται ανεξάρτητα (ισόνομα ή μη) ή εξαρτημένα (ανταλλάξιμα ή με ομογενή/μη ομογενή Μαρκοβιανή εξάρτηση) μεταξύ τους.Αντικείμενο της διατριβής είναι η πιθανοτική μελέτη του μικρότερου τμήματος της δυαδικής ακολουθίας στο οποίο συγκεντρώνονται όλες οι ροές επιτυχιών με μήκος που υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο μέγεθος (κατώφλι). Για την περιγραφή του τμήματος συγκέντρωσης ορίζονται τυχαίες μεταβλητές, οι οποίες παριστάνουν τον αριθμό των ροών επιτυχιών, τον αριθμό των επιτυχιών στις ροές αυτές, το μήκος της μεγαλύτερης ροής επιτυχιών, το μήκος και τη θέση (αρχή και τέλος) του τμήματος συγκέντρωσης των ροών καθώς και την πολυδιάστατη τυχαία μεταβλητή με συνιστώσες τις τυχαίες μεταβλητές απαρίθμησης επιτυχιών και ροών επιτυχιών και εκείνης που παριστά το μήκος του τμήματος συγκέντρωσης. Υπό τη συνθήκη ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο ροές επιτυχιών στην ακολουθία, προσδιορίζονται οι δεσμευμένες συναρτήσεις πιθανότητας των τριών τελευταίων τυχαίων μεταβλητών που προαναφέρθησαν. Εκφράσεις πιθανοτήτων και συναρτήσεων πιθανότητας βρίσκονται μέσω συνδυαστικής ανάλυσης και αναδρομικών σχέσεων, αξιοποιώντας τον ορισμό των τυχαίων μεταβλητών και τη δομή των ακολουθιών που εξετάζουμε. Η διατριβή χωρίζεται σε έξι κεφάλαια τα οποία ομαδοποιούνται σε τρεις ενότητες. Προκαταρκτικές έννοιες και ορισμοί αναφορικά με τα πιθανοτικά πρότυπα, ανεξαρτησίας ή εξάρτησης, ακολουθιών δυαδικών τυχαίων μεταβλητών καθώς και τις σχέσεις μεταξύ τους περιγράφονται στο Κεφάλαιο 1. Στο Κεφάλαιο 2 ορίζονται και σχολιάζονται στατιστικές συναρτήσεις απαρίθμησης και συγκέντρωσης επιτυχιών και ροών επιτυχιών σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών. Τα δύο αυτά κεφάλαια αποτελούν την Ενότητα Α. Η πιθανοτική μελέτη της απαρίθμησης και της συγκέντρωσης ροών επιτυχιών σε ακολουθίες δυαδικών τυχαίων μεταβλητών, με διάφορες εσωτερικές δομές, αναπτύσσεται στην Ενότητα Β. Η ενότητα αυτή χωρίζεται στο Κεφάλαιο 3, όπου εξετάζεται η απαρίθμηση των ροών επιτυχιών με μήκος το οποίο υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο μέγεθος και το Κεφάλαιο 4, όπου μελετάται το τμήμα συγκέντρωσης των ροών αυτών. Αποτελέσματα που αφορούν το μήκος του τμήματος συγκέντρωσης, την (τυχαία) θέση του στη δυαδική ακολουθία και την από κοινού περιγραφή του αριθμού των επιτυχιών, του αριθμού των ροών επιτυχιών και του μήκους του τμήματος συγκέντρωσης, παρουσιάζονται στις παραγράφους 4.1, 4.2 και 4.3, αντίστοιχα. Τα αποτελέσματα αυτά συνοδεύονται με βοηθητικά - ενδεικτικά αριθμητικά παραδείγματα. Η Ενότητα Γ αποτελείται από τα Κεφάλαια 5 και 6. Στο Κεφάλαιο 5 γίνεται μια λεπτομερής μελέτη και σχολιασμός αριθμητικών αποτελεσμάτων σχετικών με τη συμπεριφορά των πιθανοτήτων και των συναρτήσεων πιθανότητας που προσδιορίσθηκαν στην Ενότητα Β.Δυνητικές εφαρμογές, σε διάφορα επιστημονικά πεδία, για ενδεικτικά πρότυπα ακολουθιών ανεξάρτητης και εξαρτημένης δομής, προτείνονται στο Κεφάλαιο 6. Οι εφαρμογές αυτές αξιοποιούν τα θεωρητικά αποτελέσματα των Ενοτήτων Α και Β. Η πλειοψηφία των αποτελεσμάτων που παρουσιάζονται στη διατριβή είναι νέα και έχουν συμπεριληφθεί σε δημοσιευμένες ή υπό δημοσίευση ή σε υποβληθείσες προς δημοσίευση εργασίες, σε διεθνή περιοδικά και σε πρακτικά συνεδρίων.Ενδεικτικά αναφέρουμε τις εργασίες: Makri et al. (2015)και Arapis et al. (2016a, 2017a, 2017b).