Ποιοτική Μελέτη Λύσεων Μη Γραμμικών Ελλειπτικών Συστημάτων

Abstract

Στο κεφάλαιο 1, παρουσιάζουμε κάποιες βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη διανυσματική Allen-Cahn εξίσωση. Στο κεφάλαιο 2, υπό συγκεκριμένες υποθέσεις, αποδεικνύουμε αυστηρά τις συνθήκες γωνιών Plateau στις τριπλές συμβολές διάχυτων διεπιφανειών στις τέσσερεις διαστάσεις, εκκινώντας από τη διανυσματική Allen-Cahn εξίσωση με ένα τριπλού φρεατίου δυναμικό. Η απόδειξη βασίζεται στην εφαρμογή του θεωρήματος απόκλισης κάνοντας χρήση της μηδενικής απόκλισης ενός τανυστή τάσης που συνδέεται με την εξίσωσή μας. Στο κεφάλαιο 3, αποδεικνύουμε μιαν αρχή μεγίστου για ελαχιστικές λύσεις του συστήματος ∆u−∇W(u) = 0, με ένα δυναμικό W που μηδενίζεται στο σύνορο ενός κλειστού κυρτού συνόλου C0 ⊂Rm, που είναι είτε C2 ομαλό ή αποτελεί ένα μεμονωμένο σημείο {a}. Στο κεφάλαιο 4, αποδεικνύουμε δύο αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη φραγμένων μονοδιάστατων ελαχιστοποιητών u: το δυναμικό W πρέπει να έχει ολικό ελάχιστο έστω ίσο με 0 χωρίς βλάβη της γενικότητας, και επίσης W(u(x)) → 0 καθώς|x|→∞. Επιπροσθέτως, μη τετριμμένοι ελαχιστοποιητές συνδέουν στα ±∞ δύο διαφορετικές συνιστώσες του συνόλου {W = 0}. Αποδεικνύουμε επίσης, όταν οι προηγούμενες υποθέσεις ικανοποιούνται, την ύπαρξη μη τετριμμένων ελαχιστοποιητών και δείχνουμε την ύπαρξη ετεροκλινών, ομοκλινών και περιοδικών τροχιών κατ ΄ αναλογίαν με την διανυσματική περίπτωση. Στο τέλος, μελετούμε την ασυμπτωτική σύγκλιση αυτών των λύσεων.