Χρήση Γενικευμένων Μη Τοπικών Θεωριών Για Την Επίλυση Προβλημάτων Ελαστικότητας

Abstract

Το κύριο αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η χρήση γενικευμένων, μη τοπικών, θεωριών συνεχούς μέσου/ελαστικότητας, για την μελέτη προβλημάτων σε δομικούς φορείς στη κλίμακα των νανομέτρων, με εφαρμογές σε νανοσωλήνες άνθρακα (carbon nanotubes – CNTs). Δύο από τις γνωστότερες και αρκετά επεξεργασμένες γενικευμένες θεωρίες είναι α) η μη τοπική θεωρία ελαστικότητας (Μ.Τ.Θ.Ε.) και β) η θεωρία βαθμίδας ελαστικότητας/τροπών (Θ.Β.Ε./Τ.). Η Μ.Τ.Θ.Ε. εισάγει την έννοια της αλληλεπίδρασης μεταξύ όλων των υλικών σημείων ενός σώματος, μέσω συναρτήσεων εξασθένισης (Σ.Ε.), προσπαθώντας να αποδώσει στο συνεχές μέσο τις μη τοπικές αλληλεπιδράσεις δυνάμεων πεδίου που εμφανίζονται σε ατομικό επίπεδο, ενώ κύριο χαρακτηριστικό των Θ.Β.Ε./Τ. θεωρείται η επέκταση της έννοια της κλασικής τροπής ώστε να περιλαμβάνει και τους ρυθμούς αυτής. Γίνεται μια πλήρης διερεύνηση στατικών και δυναμικών προβλημάτων για δομικά στοιχεία δοκών στο πλαίσιο της Μ.Τ.Θ.Ε. όπως επίσης και στο πλαίσιο των Θ.Β.Τ., σημειώνοντας ότι τα δομικά στοιχεία δοκού θεωρούνται ένα ικανοποιητικό εργαλείο για την μοντελοποίηση CNTs. Αναλυτικότερα, μελετήθηκαν ολοκληρωτικά και διαφορικά μοντέλα της Μ.Τ.Θ.Ε. για διάφορες Σ.Ε. με αναφορά στο πρόβλημα της κάμψης και της ελεύθερης ταλάντωσης δοκού για μια σειρά περιπτώσεων ουσιωδών συνοριακών συνθηκών (Σ.Σ.) και τύπων φόρτισης, εξάγοντας τις εξισώσεις κίνησης/ισορροπίας και τις αντίστοιχες Σ.Σ. μέσω ενεργειακών θεωρήσεων και προέκυψαν εξαιρετικά χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με την καταλληλότητα κάθε μορφής. Η μελέτη των ενεργειακών εκφράσεων της ολοκληρωτικής μορφής επέτρεψε για πρώτη φορά την επίλυση μιας σειράς διαφόρων «παραδόξων» τα οποία εμφανίζονταν στη βιβλιογραφία για σχεδόν μια δεκαετία για την διαφορική μορφή της Μ.Τ.Θ.Ε., τα οποία έθεταν ερωτηματικά για την εφαρμογή της θεωρίας σε προβλήματα κατασκευών. Επιπλέον, η μελέτη του ολοκληρωτικού μοντέλου ανέδειξε ένα σημαντικό ζήτημα που αφορά τη συμπεριφορά της Σ.Ε. στα σύνορα κατασκευών πεπερασμένων διαστάσεων και προτάθηκαν και δοκιμάστηκαν λύσεις για να ξεπεραστούν οι δυσκολίες που προκύπτουν, προσεγγίζοντας τις Σ.Ε. ως συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, επεκτείνοντας τη φυσική τους ερμηνεία. Επιπλέον, γίνεται μια διερεύνηση του στοιχείου δοκού στα πλαίσια της Θ.Β.Ε./Τ από όπου προκύπτουν σημαντικά συμπεράσματα τόσο για το στατικό όσο και για το δυναμικό πρόβλημα, όπου στα δεύτερα αναδεικνύεται ο ρόλος της μικρο – αδράνειας στην συμπεριφορά των δοκών για το σύνολο προβλημάτων που μελετήθηκαν. Τέλος, για το πρόβλημα της ελεύθερης ταλάντωσης, γίνεται μια σύγκριση των αποτελεσμάτων από τα παραπάνω δομικά μοντέλα με αποτελέσματα προσομοιώσεων μοριακής δυναμικής (Μ.Δ.) για CNTs από τη βιβλιογραφία, αλλά και από προσομοιώσεις που έγιναν στο Ε.Μ.Π. προκειμένου εξαχθούν συμπεράσματα για την καταλληλότητα προσαρμογής κάθε δομικού μοντέλου σε αυτά.