АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-го ПОРЯДКА С ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

Abstract

We establish conditions for the existence of some classes of solutions of the nonautonomous differential equations of the nth order with regularly varying nonlinearities and asymptotic representations of these solutions and their derivatives up to order n − 1 inclusively as t ↑ ω (ω ≤ +∞).Встановлюються умови iснування деяких класiв розв'язкiв неавтономного диференцiального рiвняння n-го порядку з правильно змiнними нелiнiйностями, а також асимптотичнi при t ↑ ω (ω ≤ +∞) зображення для таких розв'язкiв та їх похiдних до порядку n − 1 включно. * Считаем, что a > 1 при ω = +∞ и ω − 1 < a < ω при ω < +∞.

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ n-го ПОРЯДКА С ПРАВИЛЬНО МЕНЯЮЩИМИСЯ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

“…Частным случаем уравнения (1.1) является уравнение y (n) = α 0 p(t)ϕ(y), где α 0 ∈ {−1, 1}, p : [a, ω[ → ]0, +∞[ -непрерывная функция, а ϕ : ∆ Y 0 −→ ]0, +∞[непрерывная и правильно меняющаяся при y −→ Y 0 функция порядка σ, Y 0 равно либо нулю, либо ±∞, ∆ Y 0 -односторонняя окрестность Y 0 . Для такого уравнения в работе В. М. Евтухова и А. М. Самойленко [1] изучалась асимптотика так называемых P ω (Y 0 , λ 0 )решений. Результаты данного исследования в работах В. М. Евтухова и А. М. Клопота [2 -4] частично распространены на случай уравнения вида (1.1).…”

“…Аналогично работе[2] заключаем, что в силу замены (3.39) полученной функции z соответствует непрерывно дифференцируемая на множестве [t 0 , ω[×R 1/2 функция Y вида (3.38), которая является решением уравнения (3.37) и удовлетворяет условиям…”