Безусловная Сходимость Гауссовских Случайных Рядов В Банаховых Пространствах

Abstract

Получено достаточное условие п.н. безусловной сходимости гауссовских рядов в банаховых пространствах с безусловным базисом, не содер жащих Z£o равномерно. Под п.н. безусловной сходимостью случайных рядов понимается сходимость всех перестановок данного ряда на одном и том же множестве сходимости. Ключевые слова и фразы: п.н. безусловная сходимость, гауссовский ряд, банахово пространство, не содержащее !£, равномерно. 1. Введение. Пусть X-действительное банахово пространство, (П,с/, Р)вероятностное пространство, £jt, к-1,2,...,-последовательность случайных эле ментов со значениями в X (под случайным элементом мы понимаем сепарабельнозначное измеримое по Борелю отображение П в X; более подробно см. [1]). Говорят, что случайный ряд SitLiffc сходится п.н. безусловно в пространстве X, если най дется множество По € el полной вероятности (Р(По) = 1) такое, что ряд X)fcLi £к(ш) сходится безусловно в пространстве X для всех ш € По, т.е. для каждого ш € По сходится любая перестановка ряда SfcLi^*(w)-Заметим, что сходимость подразу мевается в сильной топологии пространства X. Данное определение отличается от так называемой перестановочной сходимости, когда п.н. сходится любая перестановка данного ряда (т.е. множество сходимости зависит от перестановки). Например, ряд Sfc^iSfc/fc, г Д е е *' * = li 2,...,-не зависимые бернуллиевские случайные величины (P{ejt =-1} = P{sjt = 1} = j)i сходится п.н. перестановочно, так как SfcLi ^~2 < °о, но не сходится п.н. безусловно (абсолютно), так как £fc^i V s = °°-Вообще говоря, в конечномерных банаховых пространствах п.н. безусловная и п.н. абсолютная сходимости случайных рядов суть эквивалентные понятия. А в каж дом бесконечномерном банаховом пространстве, по известной теореме Дворецкого-Роджерса (см., например, [2, с. 80]), существует п.н. безусловно сходящийся ряд, который не сходится п.н. абсолютно. Поэтому содержательные задачи относительно п.н. безусловной сходимости возникают в бесконечномерных банаховых простран ствах. Почти наверное безусловная сходимость случайных рядов рассматривалась автором ранее в работах [3]-[9]. Последовательность случайных элементов ({*) со значениями в банаховом про странстве X называют гауссовской, если любая ее конечная подпоследовательность {tki,£k 2 i->£fc")> п ^ 1) является гауссовским случайным элементом в банаховом пространстве Х п-прямом произведении п банаховых пространств X. В частности, если £fc, к-1,2,...,-независимые гауссовские случайные элементы, то последова тельность (ffc) будет гауссовской. Говорят, что ряд SjtLi Zk является гауссовским, если последовательность (£&) является гауссовской. Пусть Е и F-изоморфные банаховы пространства, d(E, F)-так называемое расстояние Банаха-Мазура между Е и F, т.е. нижняя грань чисел {||Т|| • ||Т _1 ||} по всем изоморфизмам Т: Е-»• F. Очевидно, d(E, F) £ 1. Пусть, далее, Z£,-действи тельное п-мерное банахово пространство с максимум-нормой. Говорят, что банахово пространство X содержит JJJ, равномерно, если для любого е > 0 и натурального п * Институт вычислительной математики им. Н. И. Мусхелишвили АН Гр...