Вопросы И Замечания К Программе Ленглендса

Abstract

Дается краткий обзор классической программы Ленглендса построения соответствия между n-мерными представлениями групп Галуа локальных и глобальных полей размерности 1 и неприводимыми представлениями групп GL(n), связанных с такими полями и их кольцами аделей. Рассмотрено обобщение программы Лендглендса на случай полей размерности 2 и описан его вариант для одномерных представлений. Сформулирована гипотеза о прямом образе автоморфных форм, связывающая соответствия Ленглендса в размерностях 2 и 1. Показано, что в геометрическом случае поверхностей над конечным полем она вытекает из теоремы Лаффорга о существовании глобального соответствия Ленглендса для кривых. Из гипотезы о прямом образе вытекает также классическая гипотеза Хассе-Вейля об аналитическом поведении дзета-и L-функций кривых, определенных над глобальными полями размерности 1. Библиография: 56 названий. Ключевые слова: соответствие Ленглендса, автоморфные формы, L-функции, двумерные локальные поля, адели, K-группы, теория полей классов, прямые образы.

О Гипотезе Прямого Образа В Относительной Программе Ленглендса

“…Поскольку для схем высших размерностей может быть построена теория полей классов, использующая алгебраическую K-теорию, то конструкция Ленглендса может быть сформулирована для одномерных представлений группы Галуа и представлений группы Km(AX ) на m-мерной схеме. Случай двумерной схемы (m = 2) разобран в [1]. Там же сформулирована гипотеза о прямом образе, связывающем абелевы представления группы K2(AX ) и автоморфные представления групп GL(AB) для гладких расслоений вида f : X → B, где X -алгебраическая поверхность и B -алгебраическая кривая над конечным полем Fq.…”

“…Доказательство. В [1] был дан набросок доказательства этой теоремы (без свойства viii)) для гладких морфизмов f . Доказательство настоящей теоремы состоит из двух шагов.…”

“…Cвойства i)-vii) из утверждения теоремы проверяются таким же способом, как в [3]. Новое свойство viii) получается из теоремы о собственной замене базы j * • R i f * F = R i f ′ * • k * F для пучка F на X. Свойство автоморфности представления f 1 * (χ) группы аделей GL(2g, AB) получается применением глобального соответствия Ленглендса в этой ситуации (теорема Лаффорга) так же, как это было сделано для гладких морфизмов в [1].…”

Неразветвленное Двумерное Соответствие Ленглендса

“…Это кольцо в случае арифметической поверхности должно учитывать слои над бесконеч-ными (архимедовыми) точками базы; см. [4, пример 11], [5]. ) Существование одномерного (классического) соответствия Ленглендса в слу-чае n = 1 есть утверждение одномерной (обычной) теории полей классов.…”

“…где K ab -максимальное абелево расширение двумерного локального поля K. Отметим, что недавно А. Н. Паршин сформулировал в [5] гипотезу о пря-мом образе автоморфных форм, которая связывает абелево двумерное соот-ветствие Ленглендса с классическим соответствием Ленглендса в размерности один. Из этой гипотезы вытекает классическая гипотеза Хассе-Вейля о суще-ствовании функционального уравнения для L-функций арифметических по-верхностей.…”