Гиперплоские Сечения И Производные Категории

Abstract

Гиперплоские сечения и производные категорииПриведено обобщение теоремы Бондала и Орлова о производных кате-гориях когерентных пучков на пересечениях квадрик, демонстрирующее связь этой теоремы с проективной двойственностью. В качестве прило-жения приведено описание производных категорий когерентных пучков на трехмерных многообразиях Фано индекса 1 степеней 12, 16 и 18.Библиография: 26 наименований. ВведениеОдной из наиболее перспективных тенденций в современной алгебраиче-ской геометрии является систематическое использование производных катего-рий когерентных пучков [5]. Производные категории, введенные Ж.-Л. Вердье в 1967 г., в последнее время привлекают повышенное внимание, что связано с пониманием их роли в современной геометрии. Было осознано, что геометри-ческое сходство различных алгебраических многообразий часто является лишь внешним проявлением более глубоких взаимосвязей, которые могут быть вы-ражены как эквивалентность подходящих категорий. Рассмотрим, к примеру, соответствие Маккея. В 1980 г. Дж. Маккей обнаружил [19] связь неприводи-мых представлений конечных подгрупп Γ ⊂ SL(2, C) с вершинами аффинных диаграмм Коксетера-Дынкина типа A, D, E. Геометрическая интерпретация этого соответствия в терминах разрешения простой поверхностной особенно-сти C 2 /Γ была предложена Г. Гонсалесом-Спринбергом и Ж.-Л. Вердье [11] в 1983 г. Наконец, М. Капранов и Е. Вассеро [15] показали, что производная категория когерентных пучков на разрешении особенности C 2 /Γ эквивалент-на производной категории когерентных Γ-эквивариантных пучков на C 2 (см. также [8], где приводится обобщение этого факта).Еще один пример переформулировки классических результатов в терминах производных категорий -это теория пересечения квадрик. Ранее, она фор-мулировалась как соответствие между пересечениями квадрик и детерминан-талями в линейных пространствах квадрик [26]. Геометрический смысл этого соответствия был обнаружен в работе [10]. В частности, в случае пересече-ния двух четномерных квадрик следует рассматривать гиперэллиптическую кривую, которая является двулистным накрытием прямой P 1 (параметризую-щей квадрики в пучке), разветвленным в точках прямой P 1 , соответствующихРабота выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 05-01-01034 и 02-01-01041), программы Президента РФ для поддержки молодых ученых (MK-3926.2004.1), гранта АФГИР RUM1-2661-MO-05 и Российского фонда поддержки науки. c А. Г. Кузнецов, 2006 24 А. Г. КУЗНЕЦОВ вырожденным квадрикам. В работе [10] было показано, что многообразие мо-дулей двумерных расслоений на этой гиперэллиптической кривой может быть описано в терминах линейных пространств, содержащихся в пересечении квад-рик. А. И. Бондал и Д. О. Орлов в работе [4] раскрыли геометрический смысл этого соответствия, показав, что производная категория когерентных пучков на гиперэллиптической кривой может быть вложена как полная подкатегория в производную категорию когерентных пучков на пересечении квадрик. На-конец, в работе [5] А. И. Бондал и Д. О. Орлов сформулировали теорему, опи-сывающую структуру п...