Инвариантные Многообразия И Пары Лакса Для Интегрируемых Нелинейных Цепочек

Abstract

Продолжены ранее начатые исследования по разработке прямого метода построения пары Лакса по заданному интегрируемому уравнению. В данном подходе не требуется никаких дополнительных предположений о свойствах уравнения. В качестве одного из уравнений пары Лакса взята линеаризация рассматриваемого нелинейного уравнения, а второе уравнение пары связано с его обобщенным инвариантным многообразием. Задача поиска второго уравнения сводится к простым, но довольно трудоемким вычислениям и, как показывают примеры, эффективно решается. Замечательный факт состоит в том, что второе уравнение пары позволяет легко отыскать рекурсионный оператор, описывающий иерархию высших симметрий уравнения. Полученные таким способом пары Лакса, на первый взгляд, отличаются от обычных, так как имеют более высокий порядок либо более высокую матричную размерность. На примерах показано, что понижением порядка они сводятся к обычным парам. В качестве примера рассматривается интегрируемая дважды дискретная система экспоненциального типа и ее высшая симметрия, для которой предъявлена пара Лакса и построены законы сохранения.

A direct algorithm for constructing recursion operators and Lax pairs for integrable models

“…[5], [6]). Более того, как показано в работах [3], [4] с помощью множества примеров, пара Лакса (7) эффективно переводится в классическую. Этот факт объясняется тем, что линейное инвариантное многообразие переходит в нелинейное при уменьшении порядка соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения (3).…”