Интегро-Локальные Предельные Теоремы Для Сумм Случайных Векторов, Включающие Большие Уклонения. II

Abstract

Настоящая статья является продолжением работ [1], [2]. Пусть S(n) = £(1) + ••• + £(п) есть сумма независимых невырожденных в R d случайных векторов, распределенных как вектор £. Предпо лагается, что функция <р(Х) = Ее' '" конечна в окрестности не которой точки А 6 R d. Получены асимптотические представления для вероятности Р{5(п) € А(ж)} и для функции восстановления Я(Д(ж)) = £Г=1 Р{5(п) € Д(ж)}, где Д(ж) есть куб в R d с верши ной в точке ж и со стороной Д. При этом в отличие от [1], [2] либо по существу никаких предположений не делается, либо накладыва емые условия являются очень слабыми. Ключевые слова и фразы: большие уклонения, функция укло нений, функция восстановления, интегро-локальная теорема, ариф метическое распределение, решетчатое распределение, нерешетча тое распределение.

On sharp large deviations for sums of random vectors and multidimensional Laplace approximation

“…Integrating their ap proximation, they could recover Iltis's result, but they focus on the geometry of A when дA is smooth and has a unique point, where the function I reaches its minimum. Borovkov and Mogulskii [14] obtained an integro-local large deviation result under weaker conditions than the above mentioned authors, but with a slight restriction on the sets A to be considered. In a somewhat different vein, Borovkov and Mogulskii [11]- [13] obtained sharp result under very weak assumptions on the distribution and focusing on uniformity with respect to the distribution and the set.…”

“…We shall obtain in what follows some more complete results than Andriani and Baldi [1], which therefore could alternatively be obtained from their main theorems. Notice that Borovkov and Mogulskii [14,Part I] give an expression for P{S n G nA} under a condition weaker than (2.2), namely contains АПЛад +£ . Indeed, the usual rough estimate (1.2) shows that P{S n G nA} ~ P{S n G п(ЛПЛ/(л) +е )} as n tends to infinity.…”

О Больших И Сверхбольших Уклонениях Сумм Независимых Случайных Векторов При Выполнении Условия Крамера. I

“…При выполнении условия [С] функция уклонений играет определя ющую роль при описании вероятностей больших уклонений (в соответ ствующих областях) сумм S(n) = £(1)Н г-£(п), о чем свидетельствует теорема 1.1 (см. ниже, а также [5], [4], [8], [9]).…”

“…теоремами для сумм S(n) мы называем (см. [8], [9]) утверждения об асимптотическом поведении при п -> оо вероятности…”