Класифікація Частково Впорядкованих Множин, MM-тип Яких Дорівнює Симетричній Надсуперкритичній Множині Порядку 9

Abstract

Зображення ч. в. множин (частково впорядкованих множин) над полем ввели Л. А. Назарова i А. В. Ройтер в 1972 р., i перший автор був одним iз тих, хто брав активну участь у розвитку вiдповiдної теорiї. Першим критерiєм у нiй був отриманий М. М. Клейнером критерiй скiнченностi зображувального типу. У 1992 р. вiн довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли во-ни не мiстить повних ч. в. пiдмножин вигляду K1 = (1, 1, 1, 1), K2 = (2, 2, 2), K3 = (1, 3, 3), K4 = (1, 2, 5) і K5 = (N, 4). Цi ч. в. множин називаються критичними ч. в. множинами (щодо скiнченностi типу) в тому сенсi, що це мiнiмальнi ч. в. множин з нескiнченною кiлькiстю нерозкладних зображень, з точнiстю до еквiвалентностi). Тепер їх також називають ч. в. множинами Клейнера. У 1974 р. Ю. А. Дрозд довiв, що ч. в. множина S має скiнченний зображувальний тип тодi i лише тодi, коли її квадратична форма Тiтса є слабко додатною (тобто додатною на множинi невiд’ємних векторiв). Отже, ч. в. множини Клейнера є також критичними щодо слабкої додатностi квадратичної фор-ми Тiтса. У 2005 р. автори довели що ч. в. множин є критичною щодо додатностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона є мiнiмаксно iзоморфна деякiй ч. в. множинi Клейнера. Подiбну ситуацiю маємо з ч. в. множинами ручного зображувального типу. У 1975 р. Л. А. Назарова довела, що ч. в. множина S є ручною тодi i лише тодi, коли вона не мiстить ч. в. пiдмножин вигляду N1 = (1, 1, 1, 1, 1), N2 = (1, 1, 1, 2), N3 = (2, 2, 3), N4 = (1, 3, 4), N5 = (1, 2, 6) і (N, 5). Отже, цi ч. в. множини є критичними щодо ручного зображувального типу i вона назвала їх суперкритичними; вони є також критичними щодо слабкої невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса. У 2009 роцi автори довели, що ч. в. множина є критичною щодо невiд’ємностi квадратичної форми Тiтса тодi i лише тодi, коли вона мiнiмаксно iзоморфна деякiй суперкритичнiй ч. в. множинi. Перший автор запропонував ввести ч. в. множини (названi надсуперкритичними), якi вiдрiзняються вiд суперкритичних ч. в. множин в тiй же мiрi, що суперкритичнi вiдрiзняються вiд критичних. У попереднiх статтях автори описали (з точнiстю до iзоморфiзму) всi ч. в. множини, мiнiмаксно iзоморфнi довiльнiй надсуперкритичнiй множинi, окрiм (1,4,4), i вивчили деякi їхнi комбiнаторнi властивостi. У цiй статтi розглядається випадок ч. в. множини (1, 4, 4).