Константы Липшица оператора метрического $\varepsilon$-проектирования в пространствах с заданными модулями выпуклости и гладкости

Abstract

Пространство образов 2 Х \{0} оператора P будем наделять одним из трех укло нений т = а, /?, 7-Введенные т-уклонения, как и расстояние д на У, удовлетворя ют неравенству треугольника: т(А,Б) < т(А,С) +т(С,В) дляА,В,С С X, а хаусдорфово расстояние а вместе с метрикой g еще и симметричны. В дальнейшем используются сокращения ху = ||ж-у\\, MN = /?(М, N), при этом выражения 2ж?/, SMN и т.д. понимаются как 2||ж-у\\, 3/3(М, N) и т.д. Через Cv(X) обозна чается множество всех непустых выпуклых подмножеств из пространства X. В [1], [2] для ж G X, М G CV(X)H£ > Оприт = а,/^,7 доказана т-липшицевость оператора Р в точке v = (ж, М, г) по совокупности переменных, т.е. фактически установлена конечность и получены некоторые оценки сверху (см. (1.2), (1.1)) для т-констант Липшица K T (v), задаваемых формулами { Q\v,w) J В настоящей статье, в частности, получены оценки сверху для К т (у) через мо дули выпуклости и гладкости пространства X и показана их неулучшаемость на классе всех линейных нормированных пространств. Устойчивости и оценкам устойчивости оператора Р при г > 0 посвящены рабо ты [1]-[10] (более подробный обзор этих и других результатов можно найти в [2]). Заметим, что устойчивость оператора наилучшего приближения ж i-> хм изуча лась гораздо интенсивнее (см. [11]-[13]). В дальнейшем нам будет удобнее иметь дело не с r-константами Липшица в точ ке v, ас некоторыми равномерными r-константами К т (а, s) и К' т (а, s), которые определим следующим образом.