Көмекші Функция Негізінде Глобальды Оңтайландыруға Кесіндіні Қақ Бөлу Әдісін Қолдану

Abstract

In this paper, the problem of global optimization of a smooth function of several variables given on a cuboid is considered. The search for a solution is carried out using an auxiliary function obtained by a special transformation of the objective function. An auxiliary function is a function of one variable, the zero of which coincides with the value of the global minimum of the objective function. Therefore, to solve the problem, the method of dividing the segment in half was used. The results of this work were revealed on the basis of a large number of computational experiments conducted on test functions using the proposed method. These results are formulated in the form of three theorems and theoretically proved. In the first theorem, conditions are defined that indicate the interval in which the value of the global minimum is located. The second theorem expresses the convergence of the iterative sequence to the value of the global minimum. In the third theorem, the linear convergence rate of the iterative procedure is established. As an example, the multiextremal Eckley function of two variables defined in a square centered at the origin is considered. Keywords: global optimization, optimization methods, global optimization algorithms, global search, horizontal cross-section method, convergence of the global optimization method, auxiliary function. Бұл жұмыс кубоидта берілген бірнеше айнымалысы бар тегіс функцияның глобальды оңтайландыру есебін қарастырады. Шешімді іздеу берілген мақсатты функцияны арнайы түрлендіру арқылы алынған көмекші функцияны қолданумен жүзеге асады. Көмекші функция бір айнымалыға тәуелді. Оның нөлі мақсатты функцияның глобальды минимумының мәніне сәйкес келеді. Минимумды табу үшін кесіндіні қақ бөлу әдісін қолданылды. Есептеу тәжірибелері әдістің дұрыстығын көрсетті. Әр түрлі тесттік функциялардың глобальды минимумы анықталды. Бұл нәтижелер үш теорема түрінде тұжырымдалған және теориялықтұрғыдан дәлелденген. Бірінші теорема глобальды минимумның мәні жатқан аралықты көрсететің шарттарды анықтайды. Екінші теорема итерациялық тізбектің глобальды минимум мәніне жинақталатының көрсетеді. Үшінші теоремада итерациялық үрдістің жинақтылығының сызықтық жылдамдығы есептелді. Мысал ретінде екі айнымалыдан тәуелді көп экстремалды квадратта анықталған функция қаралды. Түйін сөздер: глобальды оңтайландыру, оңтайландыру әдістері, глобальды оңтайландыру алгоритмдері, глобальды минимумды іздеу, көлденең қима әдісі, глобальды оңтайландыру әдісінің жинақтылығы, көмекші функция. В работе рассматривается задача глобальной оптимизации гладкой функции нескольких переменных, заданной на кубоиде. Поиск решения осуществляется с помощью вспомогательной функции, полученной путем особого преобразования целевой функции. Вспомогательная функция является функцией одной переменной, ноль которой совпадает со значением глобального минимума целевой функции. Поэтому для решения поставленной задачи применялся метод деления отрезка пополам. Результаты настоящей работы были выявлены на основе большого числа вычислительных экспериментов, проведенных на тестовых функциях с помощью предложенного метода. Эти результаты сформулированы в виде трех теорем и теоретически доказаны. В первой теореме определены условия, которые указывают на промежуток в котором находится значение глобального минимума. Вторая теорема выражает сходимость итерационной последовательности к значению глобального минимума. В третьей теореме установлена линейная скорость сходимости итерационной процедуры. В качестве примера рассмотрена многоэкстремальная функция Экли двух переменных, определенная в квадрате с центром в начале координат. Ключевые слова: глобальная оптимизация, методы оптимизации, алгоритмы глобальной оптимизации, глобальный поиск, метод горизонтальных сечении, сходимость метода глобальной оптимизации, вспомогательная функция.