Метод Граничных Интегральных Уравнений В Моделировании Нелинейного Деформирования И Разрушения Трехмерных Неоднородных Сред

Abstract

The method of boundary integral equations is applied for solving the nonlinear problems of thermo-elastic-plastic deformation and fracture of inhomogeneous 3D bodies of the complex form. Solution is constructed on the basis of the generalized identity of Somigliana involving method of sequential linearization in the form of initial plastic deformations. The increments of plastic deformation are determined on the basis of the flow theory of hardening elastoplastic media with the use of modifed Prandtl-Reus's relations. The cases of complex thermo mechanical loading of compound piecewise homogeneous media in contact are considered. For describing the processes of nonlinear deformation and fracture of the bodies with a complex geometry and local peculiarities a method of discrete domains (DDBIEM) is developed. The solutions of some practical significant 3D non-linear problems of the mechanics of deformation and fracture are presented.

Изучение Переходных Процессов В Нелинейно Деформируемых Средах На Основе Интегральных Представлений И Метода Дискретных Областей

“…Входящие в (19), (20) [A] и [A ] матрицы коэффициентов при векто-ре граничных неизвестных,Ẋn+1 вектор, содержащий неизвестные усилия и перемещения на границе, векторыḞ n+1 иḞ n+1 содержат члены, опреде-ляемые отличными от нуля заданными значениями граничных перемещений и усилий, а также действием объемных сил, включая инерционные и вяз-кие. Матрицы [D] и [D ] включают в себя объемные интегралы с начальными и нелинейными деформациями в (13), (15), квазидиагональная матрица [G] определяется наличием свободных от интеграла членов в (15).…”

“…Приращения пластической деформации на каждой итерации определяются из решения (19), (20) с использованием со-отношений (3) и экспериментально полученных диаграмм деформирования для материала каждой из рассматриваемых сред.…”

“…Большая размерность, плотная упакованность и несимметричная струк-тура матриц и векторов в уравнениях (19), (20) делают вычислительные опе-рации над ними чрезвычайно трудоемкими и представляют серьезное препят-ствие для применения МГИУ в математическом моделировании переходных процессов в реальных крупномасштабных объектах. В связи с этим для уско-рения формирования и решения систем уравнений МГИУ в последние годы разработаны так называемые быстрые методы, такие как FMM, АСА и дру-гие [6], а также используемый ниже метод дискретных областей [14,18].…”

“…Перемещения u j (x i , t) и их производные по локальным координатам ζ γ с учетом аппроксимации (16), а также граничные усилия p j (x i , t) определя-ются из решения уравнений (19), (20) для каждого шага по времени. Через них с использованием (7) могут быть вычислены напряжения на границе ∂D рассматриваемой области D.…”

“…Такой прием оказывается весьма эффективным с вычислительной точки зрения, поскольку обладает высокой точностью и не требует дополнительно-го вычисления производных от интегралов по области пластического дефор-мирования, нет также необходимости вычисления матрицы D в выражении (20) в процессе решения нелинейной задачи. Его легко обобщить на нелиней-но деформируемые среды, расчетные области которых состоят из элементов с сильно различающимися свойствами и/или размерами или включают в себя локальные особенности, например, типа произвольно ориентированных тре-щин.…”