Минимальные Вершинные Расширения Направленных Звезд

Abstract

Неориентированной звездой называется полный двудольный граф вида K 1;n . На-правленной звездой называется направленный граф, симметризация которого является неориентированной звездой. В статье дается полное решение задачи описания всех ми-нимальных вершинных k-расширений направленных звезд при любом натуральном k.Ориентированным графом (далее орграфом) называется пара E G D .V;˛/, где V -конеч-ное непустое множество, называемое множеством вершин, а˛-отношение на множестве V , называемое отношением смежности. Элементы множества˛называются дугами. Ду-га вида .u; u/ 2˛называется петлей. Орграф с универсальным отношением смежности называется полным и обозначается E K n , где n -число вершин. Граф с пустым отношени-ем смежности называется вполне несвязным и обозначается O n . Основные определения даются согласно [1].Орграф с антисимметричным отношением смежности называется направленным гра-фом или диграфом. Полный диграф без петель называется турниром. Транзитивный тур-нир -это турнир, у которого из существования дуг .u; v/ и .v; w/ вытекает существование дуги .u; w/.Граф с симметричным и антирефлексивным отношением смежности называется не-ориентированным графом (далее графом). В неориентированном графе пара встречных дуг называется ребром и обозначается fu; vg.Симметризацией орграфа E G D .V;˛/ называется граф G D .V; .˛[˛ 1 / n /; то есть симметризация орграфа получается заменой дуг ребрами и удалением петель.Вложением графа˛2/ называются изоморфными, если можно уста-новить взаимно однозначное соответствие 'W V 1 ! V 2 , сохраняющее отношение смежно-сти: .u; v/ 2˛1 " .'.u/; '.v// 2˛2 для всех u; v 2 V 1 .Изоморфизм графа на самого себя называется автоморфизмом. Две вершины графа на-зываются подобными, если существует автоморфизм, при котором одна вершина является образом другой. Граф, все вершины которого попарно подобны, называется вершинно-симметрическим.Граф G D .V ;˛/ называется минимальным вершинным k-расширением n-вершин-ного графа G D .V;˛/, если выполняются следующие условия:

Number estimation for additional arcs in a minimal 1-vertex extension of tournament

“…В работе [3] доказываются некоторые результаты о связи между минимальными вершинными k-расширениями неориентированных и ориентированных графов.…”