Модули Полустабильных Пучков Ранга $2$ На Рациональных Трехмерных Многообразиях Фано Основной Серии

Abstract

В статье исследуются пространства модулей полустабильных когерентных пучков ранга $2$ на проективном пространстве $\mathbb{P}^3$ и следующих за ним рациональных многообразиях Фано основной серии - трехмерной квадрике $X_2$, пересечении двух четырехмерных квадрик $X_4$ и многообразии Фано $X_5$ степени $5$. Для квадрики $X_2$ доказана ограниченность третьего класса Черна $c_3$ полустабильных объектов ранга $2$, в том числе пучков, из $\mathrm{D}^b(X_2)$. Дано явное описание всех пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $X_2$, в том числе рефлексивных, с максимальным третьим классом Черна $c_3\ge0$. Эти пространства оказываются неприводимыми гладкими рациональными многообразиями во всех случаях, за исключением следующих двух: $(c_1,c_2,c_3)=(0,2,2)$ либо $(0,4,8)$. Найден первый пример несвязного пространства модулей полустабильных пучков ранга $2$ с фиксированными классами Черна на гладком проективном многообразии - это второй из указанных исключительных случаев $(c_1,c_2,c_3)= (0,4,8)$ на квадрике $X_2$. Построен ряд новых бесконечных серий рациональных компонент пространств модулей полустабильных пучков ранга $2$ на $\mathbb{P}^3$, $X_2$, $X_4$ и $X_5$, а также новая бесконечная серия нерациональных компонент на $X_4$. Доказана ограниченность класса $c_3$ при $c_1=0$ и любом $c_2>0$ для стабильных рефлексивных пучков основного типа на многообразиях $X_4$ и $X_5$. Библиография: 30 названий.