Неассоциативные Кольца Галуа

Abstract

Вводится и изучается понятие обобщенного кольца Галуа, то есть, кольца, удовлет воряющего всем аксиомам кольца Галуа, кроме аксиомы ассоциативности. На общий случай переносятся такие основные результаты, известные для ассоциативных колец Галуа, как описание решетки идеалов, мощности и характеристики. Для обобщен ных колец Галуа также доказывается теорема существования. Тем не менее, теорема единственности, известная в ассоциативном случае, для обобщенных колец Галуа не верна.Работа частично поддержана грантом FEDER (IFD-97-0556), грантом MCYT (PB-PGI99-04), грантом FICYT (PB-EXP01-33). ВведениеОсновы теории колец Галуа заложены в работе [8]. Эта теория была развита в работах [6], [15] и [12]. Позднее, в [14] изучались приложения этих колец к теории кодирова ния (представление нелинейных кодов над конечными полями как линейных над КГ) и криптографии [9]) (псевдослучайные последовательности, основанные на линейных ре куррентных последовательностях над кольцами Галуа). Развитие теории неассоциативных колец Галуа представляется интересным, главным образом с точки зрения возможности новых приложений в этих областях. Мы представляем неассоциативное обобщение поня тия кольца Галуа.Во втором разделе статьи рассматриваются ассоциативные кольца Галуа и конечные полутела, напоминаются определения и основные свойства. Третий раздел посвящен оп ределению и основным свойствам обобщённых колец Галуа. Приведены примеры обоб щенных колец Галуа, основанные на некоторых специфических полутелах. В четвертом разделе исследуются обобщенные кольца Галуа с ассоциативными степенями. Наконец, в последнем разделе доказана теорема существования для важного класса обобщенных колец Галуа (теорема о поднятии полутела) и обсуждается проблема единственности обобщенного кольца Галуа.Ниже, если не оговорено противное, слово кольцо означает неассоциативное кольцо. Для любого кольца 5, через А (5) обозначается множество всех делителей нуля (односто ронних или двусторонних), включая 0. Кольца Галуа и полутелаОпределение 1. Конечное ассоциативное кольцо S с единицей е называется кольцом Га луа, если множество всех его делителей нуля А (5) равно pS для некоторого натурального числа р. Определение 2. Характеристикой char S конечного кольца S назовем экспоненту его ад дитивной группы (S, +). Если S -кольцо с единицей е, то char 5 = ord+ e -аддитивный порядок элемента е группы (5, +).Если S -кольцо Галуа, то оно коммутативно, A(S) = pS для некоторого простого числа р и характеристика кольца S равна р п для некоторого натурального числа п. Более того, pS -нильрадикал кольца 5, а его верхний фактор S = S/pS -конечное поле из q = p r элементов для некоторого г € N. В этом случае, число элементов кольца Галуа равно q n . Для любого простого числа р и любых л, г е N существует единственное, с точностью до изоморфизма, кольцо Галуа 5 мощности q n , q = //, имеющее характе ристику р п . Оно обычно обозначается GR(q n , p n ) [11,12,15]. Простейшими примерами колец Галуа являются конечные поляВерхний фактор S = S/pS (конечное поле, строение которого хорошо изв...