Некоммутативные Голоморфные Функции От Элементов Алгебры Ли И Задача Об Абсолютном Базисе

Abstract

Некоммутативные голоморфные функции от элементов алгебры Ли и задача об абсолютном базисе Изучается задача об абсолютном базисе в алгебрах голоморфных функ-ций от некоммутирующих переменных, порождающих конечномерную нильпотентную алгебру Ли g. Постановка этой задачи мотивирована программой Дж. Тэйлора о построении некоммутативного голоморфно-го функционального исчисления в контексте алгебр Ли.Библиография: 17 наименований.Ключевые слова: голоморфные функции от элементов алгебры Ли, оболочка Аренса-Майкла, локализация. § 1. Введение Основными компонентами некоммутативного голоморфного функциональ-ного исчисления (см. [1]-[3]) являются:1) основная алгебра "полиномов" B; 2) банахов левый B-модуль X; 3) семейство топологических алгебр A κ "функций" с гомоморфизмами ι κ : B → A κ .Задача построения некоммутативного голоморфного функционального ис-числения состоит в нахождении таких алгебр A κ , чтобы банахово простран-ство X было левым A κ -модулем, для которого новая структура B-модуля, по-лученная переносом с помощью гомоморфизма ι κ , сводилась бы к исходной. Задача о функциональном исчислении от элементов набора T = (T 1 , . . . , T n ) из n попарно коммутирующих операторов на банаховом пространстве X (см.[4], [5]) переформулируется в этих терминах следующим образом: в качестве основной алгебры B = P n берется алгебра всех полиномов от n коммутиру-ющих переменных z = (z 1 , . . . , z n ), пространство X снабжается естественной структурой B-модуля по формуле (p(z), x) → p(T )x, а в качестве A κ берутся алгебры O(D) голоморфных функций на областях D ⊆ C n . Если основная ал-гебра B отлична от P n , то возникает вопрос: как определить класс алгебр A κ "функций от некоммутирующих переменных", который играл бы для B ту же роль, что и алгебры O(D) для P n ? Чтобы описать эту роль алгебр A κ по от-ношению к основной алгебре B, в работе [1] был в гомологических терминах определен класс гомоморфизмов топологических алгебр ι : B → A, называе-мых локализациями (см. также [6], [7]). Грубо говоря, гомоморфизм ι : B → A является локализацией, если функторы гомологий Хохшильда устойчивы при переходе от B к A посредством ι. Основным примером локализации для ал-гебры полиномов B = P n служит каноническое вложение P n → O(D), где D -область голоморфности. . А именно, пусть e = (e 1 , . . . , e n ) -базис нильпотентной алгебры Ли g, подчиненный нижнему центральному ряду этой алгебры. Бу-дем называть e треугольным базисом. В работе [9] показано, что для каждого f ∈ O g (D) существует единственный набор a J комплексных чисел такой, что f можно записать в виде формального степенного ряда: f = J a J e J (тейло-ровское разложение), где e J = e j1 1 · · · e jn n -упорядоченный моном по базису e в U(g). Сходимость этого ряда понимается в специальном смысле, называемом (слабой) однородной сходимостью (см. п. 2.1), и в этом смысле можно сказать, что множество {e J } всех упорядоченных мономов является (слабым) однород-ным базисом в O g (D). Таким образом, мы получаем некоммутативный аналог классического (тейлоровского) разложения обычных г...

Спектр Тейлора И Трансверсальность Для Операторной Алгебры Гейзенберга

“…В [23] и [24] свойство транс-версальности рассматривалось для алгебры O g (C m ) всех целых функций от элементов нильпотентной алгебры Ли g, рост которой нормален (см. [17]), т.е. степени коммутаторов убывают с некоторой (нормальной) скоростью.…”

“…Анало-гично коммутативному случаю нормальный рост нильпотентной алгебры Ли g позволяет доказать существование абсолютного базиса в O g (C n ) (см. [17] Если X -банахов g-модуль, то в нем имеются ограниченные операторы T и S, реализующие действия генераторов e 1 и e 2 . Иными словами,…”

“…Такие алгебры Ли характеризуются в [17] как класс нильпотентных алгебр Ли с нормальным ростом. Таким образом, каж-дая алгебра Гейзенберга является нильпотентной алгеброй Ли с нормальным ростом.…”