Необходимые Условия Интегрируемости Для Эволюционных Уравнений На Решетке

Abstract

Изучена структура решений уравнения Лакса Dt(G) = [F, G] для формальных рядов по степеням оператора сдвига. Показано, что если уравнение с заданным рядом F степени m допускает решение G степени k, то оно допускает и решение H степени m, такое что H k = G m. Это свойство применено для вывода необходимых условий интегрируемости для скалярных эволюционных цепочек. Ключевые слова: цепочка типа Вольтерра, высшая симметрия, закон сохранения, тест на интегрируемость.

Integrable seven-point discrete equations and second-order evolution chains

“…Напомним, что это уравнение является основным в классификации интегрируемых цепочек первого порядка [13], [14]. Классификационная задача для цепочек второго порядка (1) значительно сложнее, и в ней пока получены лишь некоторые частные результаты [15]- [17]. Новые уравнения, найденные в настоящей статье, существенно расширяют список примеров и дают некоторое представление о сложности ответов в этой задаче (хотя они заведомо не покрывают все интегрируемые случаи; в частности, все найденные цепочки, по-видимому, должны допускать представление нулевой кривизны в матрицах размера 2 × 2, так же как и ассоциированные уравнения (2); с другой стороны, такие примеры, как цепочка Богоявленского и некоторые ее обобщения, связаны с матрицами размера 3 × 3).…”