Новые базисы в пространстве квадратично интегрируемых функций на поле $p$-адических чисел и их приложения

Abstract

В работе в форме ряда теорем суммированы результаты, полученные в нескольких последних работах авторов. Представлены новые вещественные базисы функций из $L^2(B_r)$, которые являются собственными функциями $p$-адического псевдодифференциального оператора Владимирова, определенного на компакте $B_r\subset \mathbb Q_p$ поля $p$-адических чисел $\mathbb Q_p$ и на всем $\mathbb Q_p$. Показана связь построенного базиса функций из $L^2(\mathbb Q_p)$ с базисом $p$-адических всплесков из $L^2(\mathbb Q_p)$. Описан вещественный ортонормированный базис в пространстве $L^2(\mathbb Q_p,u(x) d_px)$ квадратично интегрируемых функций на $\mathbb Q_p$ по мере $u(x) d_px$. Функции этого базиса являются собственными функциями псевдодифференциального оператора общего вида с ядром, зависящим от $p$-адической нормы, и с мерой $u(x) d_px$. В качестве приложения данного базиса представлен метод описания стационарных марковских процессов на классе изометрически вложенных в $\mathbb Q_p$ ультраметрических пространств $\mathbb U$, которые изоморфны и изометричны некоторому измеримому подмножеству поля $p$-адических чисел $\mathbb Q_p$ ненулевой меры. Данный метод позволяет свести исследование таких процессов к исследованию аналогичных процессов на $\mathbb Q_p$ и тем самым использовать для вычисления их характеристик традиционные методы $p$-адической математической физики. В качестве другого приложения представлен метод нахождения общего решения уравнения $p$-адического случайного блуждания с оператором Владимирова с общей модифицированной мерой $u(|x|_p) d_px$ и реакционным источником в $\mathbb {Z}_p$.