О Вероятностях Больших Уклонений Для Случайных Блужданий. I. Распредления С Правильно Изменяющимися Хвостами

Abstract

В работе установлены аппроксимации первого порядка и асимп тотические разложения для вероятностей пересечения криволиней ных границ в области больших уклонений случайными блуждания ми с правильно меняющимися хвостами распределений. В частнос ти, изучены вероятности больших уклонений для сумм и для мак симумов частных сумм независимых и одинаково распределенных случайных величин, включая асимптотическое поведение плотнос тей в случае, когда они существуют. Обобщения на «правильный экспоненциальный» случай (когда хвост распределения отличает ся от экспоненциальной функции лишь правильно изменяющимся множителем) рассмотрены во второй части работы. Ключевые слова и фразы: случайное блуждание, большие укло нения, правильное изменение, асимптотическое разложение. Пусть Xi,X2,... суть независимые одинаково распределенные слу чайные величины, Borovkov A. A., Borovkov К. A, On large deviations probabilities for random walks. I. Regularly varying distribution tails. © Перевод на русский язык, Научное издательство «ТВП», 2001. * Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, просп. Академика Коптюга, 4, 630090 Новосибирск, Россия.

О Больших И Сверхбольших Уклонениях Сумм Независимых Случайных Векторов При Выполнении Условия Крамера. II

“…Из леммы 6.1 и условий доказываемой теоремы следует, что для любого 5 2 Известно, далее, что предельное распределение Q абсолютно непре рывно, а его плотность q -q(t) непрерывна, положительна для всех t > О и равна 0 для всех неположительных t (см., например, [3, с. 652]).…”

О Вероятностях Больших Уклонений Для Случайных Блужданий. II. Регулярные Экспоненциально Убывающие Распределения

“…Мы можем также получить асимптотические разложения для V n (x). Для этого нам понадобится следующее условие из [10]. > t} < inf e" tA+fclnv(A) = e -fcA(t/fc) , t > 0,…”

“…Сходная ситуация имеет место и при изучении асимптотического поведения вероятности события для произвольной границы д(к) = # п (/с), к = 0,1,...,п. Предположим ради простоты, что граница д имеет вид где /(£), 0 ^ t ^ 1, -некоторая фиксированная кусочно-непрерывная функция. Как показано в [4], определяющую роль в поведении вероятно стей P(G n ) играют линии уровня р а (£), t G [0,1], p a (l) = о, задаваемые ,-пА(а) P{S n > х} (10) неявным образом как решения уравнения (7). Однако, как мы увидим, в предположениях (3) соответствующая экстремальному значению параметра А(а+) = А + = /х версия преобразования Крамера будет иметь правильно меняющийся хвост.…”

“…Однако, как мы увидим, в предположениях (3) соответствующая экстремальному значению параметра А(а+) = А + = /х версия преобразования Крамера будет иметь правильно меняющийся хвост. Это позволит нам воспользоваться результатами [10] для вы вода асимптотического поведения вероятности пересечения границы по новой мере, а затем преобразовать его в желаемые оценки для исход ного распределения. Графически это означает, что наиболее вероятным сценарием пересечения границы будет следующий: траектория нашего случайного блуждания все время движется вдоль прямой линии с коэф фициентом наклона а+, за исключением одного единственного большого скачка, происходящего в случайный момент времени (ср.…”

“…Графически это означает, что наиболее вероятным сценарием пересечения границы будет следующий: траектория нашего случайного блуждания все время движется вдоль прямой линии с коэф фициентом наклона а+, за исключением одного единственного большого скачка, происходящего в случайный момент времени (ср. с теоремой 4 в [10]). Величина этого скачка в точности такова, чтобы лишь ском пенсировать «недостаточный снос» и достичь границы, вновь двигаясь после скачка вдоль прямой с коэффициентом наклона а+.…”