О Совместном Распределении Значений Дзета-Функций Гурвица

Abstract

Хорошо известно, что некоторые дзета и $L$-функции универсальны в смысле Воронина, т.е., ими приближается широкий класс аналитических функций. Некоторые из этих функций также совместно универсальны. В этом случае, набор аналитических функций одновременно приближается набором дзета-функций. В статье рассматривается проблема, связанная со совместной универсальностью дзета-функций Гурвица. Известно, что дзета-функции Гурвица $\zeta(s,\alpha_1), \dots, \zeta(s,\alpha_r)$ совместно универсальны, если параметры $\alpha_1,\dots, \alpha_r$ алгебраически независимы над полем рациональных чисел $\mathbb{Q}$, или в более общем случае, если множество $\{\log(m+\alpha_j): m\in \mathbb{N}_0,\; j=1,\dots, r\}$ линейно независимо над $\mathbb{Q}$. Мы рассматриваем случай произвольных параметров $\alpha_1,\dots, \alpha_r$ и получаем, что существует непустое замкнутое множество функций $F_{\alpha_1,\dots, \alpha_r}$ пространства $H^r(D)$ аналитических в полосе $D=\left\{s\in \mathbb{C}:\frac{1}{2}<\sigma<1\right\}$ такое, что для любых компактных множеств $K_1,\dots, K_r\subset D$, функций $(f_1,\dots, f_r)\in F_{\alpha_1,\dots, \alpha_r}$ и всякого $\varepsilon>0$ множество $\left\{\tau\in \mathbb{R}: \sup_{1\leqslant j\leqslant r} \sup_{s\in K_j} |\zeta(s+i\tau,\alpha_j)-f_j(s)|<\varepsilon\right\}$ имеет положительную нижнюю плотность. Также рассматривается случай положительной плотности этого множества.